135517
VK: vk.com/physics_math Чат инженеров: @math_code Учебные фильмы: @maths_lib Репетитор IT mentor: @mentor_it YouTube: youtube.com/c/PhysicsMathCode Обратная связь: @physicist_i
⚙️ График, который получается в результате таких манипуляций — трохоида, у которой опорная поверхность не плоская, а имеет переменный радиус кривизны. По сути это совокупность эпитрохоид, построенных на поверхности с переменным радиусом кривизны.
Для понимания процесса нужно записать на черновике два параметрических уравнения, которые получаются, когда кругл «катится» по плоскости:
x = r⋅t - h⋅sin(t)
y = r - h⋅cos(t)
x = R⋅(m+1)⋅cos(m⋅t) - h⋅cos((m+1)⋅t)
y = R⋅(m+1)⋅sin(m⋅t) - h⋅sin((m+1)⋅t)
m = r/R , R — радиус неподвижной окружности (опорная поверхность), r — радиус катящейся окружности. h — расстояние от центра катящейся окружности до точки маркера (за которой мы следим, точка, которая рисует). R → ∞ и h → R , то мы получаем уравнения классической циклоиды, график которой описывает крайняя точка на колесе машины, которая едет с постоянной скоростью и без проскальзывания.
👨🏻💻Подборка англоязычных ресурсов для изучения IT
🔹 stackoverflow.com — главная база знаний для разработчиков. 24+ млн вопросов и ответов. Работает отлично.
🔹 hackaday.com — железо, электроника, встраиваемые системы, DIY-проекты. Для тех, кто любит паять и программировать.
🔹 hashnode.com — блог-платформа для разработчиков. За сутки — сотни свежих статей от инженеров со всего мира.
🔹 anandtech.com — форум по железу, процессорам, видеокартам, сборке ПК и софту. Живое обсуждение техники.
🔹 reddit.com — огромные сообщества: r/programming, r/MachineLearning, r/webdev. Нужен VPN в некоторых регионах, но сам сайт жив.
🔹 news.ycombinator.com — Hacker News. Главная лента IT-новостей и стартапов. Обновляется круглосуточно.
🔹 dev.to — DEV Community. Соцсеть для программистов, посты выходят каждый день.
🔹 freecodecamp.org — тысячи бесплатных гайдов по JavaScript, Python, алгоритмам и веб-разработке.
🔹 medium.com — блоги инженеров из FAANG и независимых экспертов. Хорошая рекомендательная система.
🔹 github.com — трендовые репозитории, open-source проекты, обсуждения в issues и PR.
🔹 huggingface.co — главное сообщество по AI и ML. Модели, датасеты, статьи.
🔹 arxiv.org — свежие научные препринты по CS, ML, AI, математике.
🔹 paperswithcode.com — к каждой статье прилагается код. Идеально для ML-инженеров.
🔹 openai.com/blog — официальный блог OpenAI. Новости о GPT, исследованиях и релизах.
🔹 deepmind.com/blog — блог Google DeepMind. Глубокие материалы по обучению с подкреплением и нейросетям.
🔹 infoq.com — статьи и видео про архитектуру, микросервисы, DevOps, CI/CD.
🔹 sdtimes.com — новости индустрии разработки ПО.
🔹 codinghorror.com — блог Джеффа Этвуда (сооснователь Stack Overflow). Про код, инженерию и культуру разработки.
🔹 newsletter.pragmaticengineer.com — глубокий разбор инженерных практик и управления командами.
🔹 w3schools.com — справочник по HTML, CSS, JavaScript, SQL, Python. Быстрый поиск синтаксиса.
🔹 learn.microsoft.com — бесплатные курсы и документация от Microsoft.
🔹 edx.org — курсы от MIT, Гарварда, LinuxFoundation. Много технических направлений.
🔹 classcentral.com — поисковик бесплатных IT-курсов по всему интернету.
🔹 overapi.com — шпаргалки по языкам программирования и инструментам.
🔹 explainshell.com — расшифровка сложных команд в терминале.
🔹 tldp.org — классическая документация по Linux.
🔹 opensource.com — статьи про open-source, лицензии, управление проектами.
🔹 dodgycoder.net — блог про безопасность и уязвимости.
🔹 krebsonsecurity.com — расследования и новости о кибербезопасности.
🔹 thehackernews.com — дайджест новостей по безопасности и хакерским атакам.
🔹 portswigger.net/research — исследования веб-уязвимостей от авторов Burp Suite.
🔹 owasp.org — стандарты и чек-листы по безопасности приложений.
🔹 cve.mitre.org — база известных уязвимостей.
🔹 nginx.com/blog — всё про веб-серверы, балансировку и производительность.
🔹 cloud.google.com/blog — облачные технологии от Google.
🔹 aws.amazon.com/blogs — блог AWS с кейсами и архитектурными решениями.
🔹 kubernetes.io/blog — официальный блог Kubernetes.
🔹 docker.com/blog — контейнеризация и оркестрация.
🔹 git-scm.com/doc — официальная документация по Git с примерами.
🔹 json.org — описание формата JSON.
🔹 http.cat — коды HTTP-ответов с забавными картинками.
🔹 devhints.io — компактные шпаргалки по технологиям.
🔹 roadmap.sh — визуальные карты обучения для фронтенда, бэкенда, DevOps, ML.
🔹 exercism.org — практика программирования с задачками и менторами.
🔹 codewars.com — тренировка алгоритмов прямо в браузере.
🔹 leetcode.com — подготовка к собеседованиям, задачи с разбором.
🔹 hackerrank.com — челленджи по алгоритмам и SQL.
🔹 geeksforgeeks.org — объяснение алгоритмов и структур данных простым языком.
🔹 programiz.com — обучение с интерактивным запуском кода.
🔹 realpython.com — качественные статьи по Python.
🔹 pypi.org — индекс всех пакетов Python.
🔹 npmjs.com — реестр пакетов для JavaScript / Node.js.
🔹 crates.io — реестр библиотек для Rust.
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
👨🏻💻 Подборка полезных ссылок для изучения C++
▪️ LearnCpp.com — это бесплатный веб-сайт, посвященный обучению вас программированию на C++. Независимо от того, был ли у вас какой-либо предыдущий опыт программирования или нет, учебные пособия на этом сайте помогут вам выполнить все шаги по написанию, компиляции и отладке ваших программ на C++, и все это с большим количеством примеров.
▪️ ravesli.com — Здесь представлены более 240 бесплатных уроков, где с нуля рассматриваются основы и тонкости языка С++ и программирования в целом. Есть пошаговые создания игр на С++ с помощью библиотек MFC и SFML, и более 70 практических заданий для проверки ваших навыков программирования.
▪️ metanit.com — данный сайт посвящен различным языкам и технологиям программирования, компьютерам, мобильным платформам и ИТ-технологиям. Здесь будут выкладываться различные руководства и учебные материалы, статьи и примеры.
▪️ cppstudio.com/cat/274/ — Если вы новичок в C++, предлагаю Вам прочитать этот бесплатный учебник. Здесь собрано большое количество статей для начинающих программистов по С++. Условно все статьи разделены на группы, кратко характеризующие их содержание. После прочтения статьи, можно закрепить материал, написав несколько программ. Для проверки своих теоретических знаний можно пройти тестирование по С++. В таблице после теоретических статей идет подраздел практики, в котором вы можете пройти тестирование и написать программы.
▪️ cplusplus.com/doc/tutorial/ — These tutorials explain the C++ language from its basics up to the newest features introduced by C++11. Chapters have a practical orientation, with example programs in all sections to start practicing what is being explained right away.
▪️ devdocs.io/cpp/ — The interface of C++ standard library is defined by the following collection of headers.
▪️ https://www.cpp.com.ru/ — C++ — чрезвычайно мощный язык, содержащий средства создания эффективных программ практически любого назначения, от низкоуровневых утилит и драйверов до сложных программных комплексов самого различного назначения. На данном сайте выложено несколько книг и статей по языкам С и С++, как для начинающих, так и для профессионалов.
▪️ https://en.cppreference.com/w/cpp — ещё одна хорошая документация на английском. Постоянно обновляется.
▪️ https://learnc.info/ — хороший сайт с лекциями по языку C. В качестве базового языка вам предстоит изучать C. Почему именно C, а не Pascal, Python, Ruby или PHP? Этот язык заставляет вас думать обо всём. Когда программируешь на си, начинаешь понимать, что компьютер - просто железяка. Необходимо самостоятельно выделять память под объекты, затем очищать эту память, заботиться о переполнении массивов, переполнении переменных, изменении знака переменных, приведении типов, правильном обращении к памяти и т.д.
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
🕰 Христиан Гюйгенс (Christiaan Huygens), нидерландский математик, физик и астроном — сконструировал первый успешный маятниковый механизм в декабре 1656 года, хотя идея использования маятника для регулировки хода часов ранее высказывалась Галилеем. В 1657 году Гюйгенс передал эксклюзивные права на производство своих часов мастеру Саломону Костеру (Salomon Coster) из Гааги . Именно Костер начал серийный выпуск первых маятниковых часов, известных как «Haagsche Klokje». Интересно, что технология быстро распространилась по Европе. В ноябре 1658 года лондонский часовщик Агасфер Фромантель (Ahasuerus Fromanteel), отправив своего сына в мастерскую Костера, уже рекламировал маятниковые часы в Англии.
⚙️ С инженерной точки зрения, ключевым элементом стала связка «маятник — анкерный спуск».
▪️ 1. Маятник как регулятор: Вместо прежних систем, где скорость хода зависела от неравномерной силы пружины или гири, Гюйгенс применил маятник. Его главное свойство — изохронность: период колебаний (а значит, и интервал между «тиками») практически постоянен для данной длины маятника и не зависит от амплитуды (в малых пределах) . Фактически, маятник стал эталоном времени, который «диктует» механизму, когда переводить стрелку.
▪️2. Анкерный спуск (escapement): Это устройство выполняет две функции :
▫️ Преобразование энергии: Оно преобразует непрерывное вращательное движение колес (от гири или пружины) в колебательное движение маятника.
▫️ Счет импульсов: Каждое качание маятника позволяет зубчатому колесу (спусковому колесу) продвинуться ровно на один зуб. Таким образом, энергия «выпускается» порциями, а не непрерывно.
▫️ Поддержание колебаний: Спуск передает маятнику небольшой импульс энергии от заводного механизма, компенсируя потери на трение и сопротивление воздуха.
В ранних часах Гюйгенса использовался вертикальный (шпиндельный) спуск (verge escapement) . В этой схеме маятник был жестко связан с валом, несущим паллеты (пластины, которые попеременно цепляются за зубья колеса). Это заставляло маятник качаться через слишком широкую дугу, что вносило погрешности. Сам Гюйгенс пытался решить эту проблему, добавив изогнутые щечки (cycloidal cheeks) в точке подвеса маятника. Они заставляли нить маятника наматываться на кривую, искусственно изменяя длину подвеса при больших амплитудах и делая ход более равномерным. Впоследствии именно английские мастера (например, Роберт Гук и Джордж Грэм) усовершенствовали систему, изобретя анкерный спуск (anchor escapement), который позволил маятнику качаться на маленькой дуге (2–3°), что сделало часы еще точнее. #механика #математика #техника #геометрия #физика #опыты
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
🤖 Школьники сделали робота с ИИ для поиска редких растений
На Российской робототехнической олимпиаде выбрали победителя в спецноминации по физическому ИИ — направлению, где робот не следует жёсткому сценарию, а сам воспринимает окружающую среду и реагирует на неё. Это направление уже давно и активно развивает Яндекс Образование, у которого накоплена серьёзная экспертиза в физическом ИИ: именно на их номинации выявлена одна из самых интересных работ.
Победил проект подростков из Екатеринбурга: автономный робот для мониторинга редких растений в заповедниках. Обычно эту работу делают вручную — сотрудники обходят территорию, ищут и фиксируют находки, что долго и не всегда безопасно на сложном рельефе.
Робот берёт эти задачи на себя: патрулирует местность, распознаёт растения через камеру и ведёт учёт находок. Нейросеть работает локально, прямо на борту, обучена на снимках из iNaturalist. А передвигается устройство без GPS — по одометрии, что критично для труднодоступных территорий с нестабильной связью.
Показательный пример, как школьная робототехника перерастает в физический ИИ: от простого «проехать по маршруту» — к «увидеть, распознать и решить реальную задачу». И приятно видеть, что крупные компании вовлекают в это талантливых детей.
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
📘 «Основы электрических цепей» (Fundamentals of Electric Circuits), Чарльз К. Александр, Мэттью Н. О. Садику
Отдельного упоминания заслуживает методический аппарат книги. Каждая глава включает множество практических задач, которые помогают закрепить теорию. Хотя некоторые рецензенты отмечают, что задачи порой становятся однотипными, именно это и позволяет довести решение до автоматизма, что критически важно для понимания электротехники.
Авторы не обходят стороной и «подводные камни» инженерного дела. Например, они честно предупреждают, что решение систем уравнений вручную может быть крайне утомительным, и рекомендуют использовать современные средства, такие как MatLab или программируемые калькуляторы . Это делает учебник не оторванным от жизни пособием, а практическим инструментом, учитывающим реальные условия работы инженера. В конце книги расположены полезные приложения по тригонометрии, работе с комплексными числами и матрицами, что избавляет читателя от необходимости постоянно отвлекаться на поиск справочной информации.
«Основы электрических цепей» — это эталонный учебник для тех, кто хочет не просто сдать экзамен, а действительно разобраться в предмете. Он будет полезен студентам инженерных специальностей, преподавателям и даже профессионалам, желающим освежить свои знания. Если вы ищете книгу, которая не отпугнет вас сложностью терминов, а, наоборот, увлечет в мир электротехники, это издание — достойный выбор. #схемотехника #электроника #электричество #магнетизм #физика #physics
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
🧲 В 1821 году английский ученый Майкл Фарадей показал миру, что электричество может создавать движение. Фарадею нужно было заставить проводник с током вращаться в магнитном поле. Но как подключить к нему провода, если он должен свободно крутиться? Обычные провода перекрутятся и порвутся. Фарадей поступил гениально. Он налил в чашку ртуть. Ртуть — жидкий металл, она отлично проводит ток. В центр чашки он поставил вертикальный магнит. А сверху, на гибком подвесе, закрепил медный стержень так, чтобы его нижний конец касался поверхности ртути. Фарадей замкнул цепь. Ток пошёл по стержню сверху вниз, через ртуть и обратно к батарее. А магнитное поле от стоящего в центре магнита действовало на этот ток. По правилу левой руки: ток идёт вниз, магнитное поле направлено вертикально — значит, сила толкает стержень вбок. Но стержень жёстко не закреплён, его нижний конец просто плавает в жидкой ртути. Поэтому он не может остаться на месте. Он получает боковой толчок и начинает двигаться по кругу вокруг магнита.
Через 13 лет, в 1834 году, русский изобретатель Борис Якоби сделал первый настоящий двигатель с вращающимся валом и коллектором. Его первый образец выдавал всего 15 ватт — как лампочка в холодильнике. Но к 1839 году Якоби построил мотор мощностью в 1 лошадиную силу и установил его на лодку, которая с 14 пассажирами ходила по Неве.
Внутри любого мотора есть две части:
▪️ Статор — неподвижная часть, создающая магнитное поле.
▪️ Ротор — вращающаяся часть с обмотками.
Когда по ротору идёт ток, его магнитное поле взаимодействует с полем статора. Они отталкиваются или притягиваются — и ротор крутится. Чтобы вращение не остановилось, специальный переключатель (коллектор) вовремя меняет направление тока в обмотках. Вот и вся физика. А началось всё с простого вопроса: «А что будет, если пустить ток через проводник, плавающий в жидком металле?» #физика #опыты #эксперименты #наука #science #physics #электродинамика #магнетизм #видеоуроки #схемотехника #радиофизика
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
🔹 Оптические эксперименты. Наблюдаемое явление называется аддитивным и субтрактивным смешением цветов.
Сочетание синего, зеленого и красного света приводит к образованию белого света в результате аддитивного смешения. И наоборот, процесс преграждения части этого комбинированного белого света с помощью щели инициирует субтрактивное смешение цветов.
В этом контексте щель функционирует как фильтр, избирательно пропускающий свет определенной длины волны. Тени, отбрасываемые объектами, являются следствием избирательного поглощения света определенной длины волны, что приводит к образованию трех различных теней: голубой, пурпурной и желтой.
Эти тени создаются из-за взаимодополняющего соотношения между цветами в аддитивной и субтрактивной моделях, где голубой дополняет красный, пурпурный дополняет зеленый, а желтый дополняет синий. #оптика #эксперименты #волны #колебания #физика #physics #видеоуроки #опыты
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
📝 Интегрирование по частям. Геометрический смысл наглядно
Формула интегрирования по частям записывается как: ∫ u · dv = u·v − ∫ v · du . По сути это лайфхак, который проходят на первом курсе физ-мата. И с помощью этой формулы студенты (или продвинутые школьники) уничтожают интегралы, которых нет в таблицах. Формула позволяет заменить один интеграл на другой, часто более простой для вычисления. Впервые этот метод опубликован в 1715 году в труде «Methodus Incrementorum Directa et Inversa» английским математиком Бруком Тейлором. Позже приоритет оспаривал Иоганн Бернулли, но первая печатная работа принадлежит Тейлору.
Геометрический смысл формулы становится ясным при рассмотрении кривой в координатах (u, v), где u и v связаны параметрически.
▪️ Определённый интеграл ∫ u dv от v₁ до v₂ равен площади фигуры под кривой (горизонтальные полосы).
▪️ Интеграл ∫ v du от u₁ до u₂ равен площади фигуры слева от той же кривой (вертикальные полосы).
▪️ Рассмотрим прямоугольник с вершинами (0,0), (u₂,0), (u₂,v₂), (0,v₂). Его площадь равна u₂·v₂.
▪️ Прямоугольник с вершинами (0,0), (u₁,0), (u₁,v₁), (0,v₁) имеет площадь u₁·v₁.
Разность этих площадей: u₂·v₂ − u₁·v₁ равна сумме двух криволинейных площадей: ∫ u dv (от v₁ до v₂) + ∫ v du (от u₁ до u₂)
Отсюда: ∫ u dv (от v₁ до v₂) = u₂·v₂ − u₁·v₁ − ∫ v du (от u₁ до u₂).Это и есть формула интегрирования по частям в определённом интеграле. Таким образом, формула выражает геометрический баланс: площадь под кривой плюс площадь слева от кривой равны разности площадей двух опорных прямоугольников. Никаких дополнительных построений не требуется. #математика #подборка_книг #math #высшая_математика #математический_анализ #алгебра #calculus
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
📚 Книги по математике и геометрии от автора: Александр Борисович Василевский
💾 Скачать книги
📘 Обучение решению задач по математике [1988] Василевский
📕 Методы решения задач [1974] Василевский А.Б.
📔 Устные упражнения по геометрии [1983] Василевский А.Б.
📗 Методы решения геометрических задач [1974] Василевский А.Б.
Василевский Александр Борисович — кандидат педагогических наук (род. 1934). Некоторые работы автора:
▪️ «Обучение решению задач по математике»: учебное пособие для педагогических институтов по физико-математическим специальностям (Минск, «Вышэйшая школа», 1988);
▪️ «Устные упражнения по геометрии: 6–10-е классы»: пособие для учителя (Минск, «Народная асвета», 1983);
▪️ «Метод параллельных проекций»: пособие для учителя (Минск, «Народная асвета», 1985);
▪️ «Обратная связь на уроках математики» (Минск, МГПИ, 1979);
▪️ «Задания для внеклассной работы по математике: 9–11 кл.»: книга для учителей (Минск, «Нар. асвета», 1988);
▪️ «Упражнения по алгебре и началам анализа: книга для учителя» (Минск, «Народная асвета», 1991). #математика #подборка_книг #math #высшая_математика #математический_анализ #алгебра #calculus
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
📜 Как человечество покоряло алгебраические уравнения
🏛 ДРЕВНИЙ МИР — квадратные уравнения. Шумеры, вавилоняне, египтяне уже умели решать задачи типа "найти сторону поля". По сути, это были квадратные уравнения. Греки — Евклид и Пифагор — решали их геометрически, чертя квадраты и прямоугольники.
Но все это были частные случаи. Общей формулы ещё не существовало. Индийские математики (Брахмагупта, VII век) впервые дали общее правило для квадратных уравнений. Но без доказательств. Тогда ещё никто не знал, что впереди — огромная сложность.
🔥 XVI ВЕК — КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ. В эпоху Возрождения математики сошли с ума по кубическим уравнениям. Все искали формулу. Это был вопрос престижа, денег и славы. Сципионе Дель Ферро находит решение кубического уравнения около 1515 года. Но он никому не говорит. В те времена математики держали свои открытия в секрете, чтобы использовать их на публичных диспутах и выигрывать деньги. Перед смертью он передаёт тайну своему ученику — Фиоре. Фиоре вызывает на математический поединок Никколо Тарталью (заикающегося самоучку из бедной семьи). Тарталья за 8 дней до диспута самостоятельно открывает формулу и побеждает Фиоре. Джироламо Кардано — гениальный врач, астролог, игрок и математик — уговаривает Тарталью раскрыть секрет. Клянётся, что никому не расскажет. Кардано узнаёт формулу... и в 1545 году публикует её в своей книге «Ars Magna» («Великое искусство»). С указанием, что авторы — Дель Ферро и Тарталья, но формулу в истории назовут ФОРМУЛОЙ КАРДАНО.
Кардано понимает: раз есть решение для кубического уравнения — значит, должно быть и для четвёртой степени. Его ученик — 23-летний гений Лудовико Феррари — решает эту задачу. Он сводит уравнение четвёртой степени к кубическому (так называемая резольвента) и получает формулу. В 1545 году в той же книге «Ars Magna» появляется МЕТОД ФЕРРАРИ. Уравнение 4-й степени покорено. Казалось бы, прогресс бесконечен. Если есть 1, 2, 3, 4 — значит, скоро решат и 5-ю!
Это была ловушка...
❓ XVIII – XIX ВЕК — ПОПЫТКИ РЕШИТЬ КВИНТИКУ. Три века математики безуспешно пытаются найти формулу для уравнений 5-й степени. Эйлер, Лагранж, Гаусс — все пробовали. Ничего. Лагранж в 1770 году пишет огромный труд, где анализирует все известные методы для 2, 3 и 4 степеней. Он подозревает: возможно, для 5-й степени формулы просто НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Но доказать не может. Все ломали голову. Это стало главной загадкой математики XVIII–XIX веков.
▪️Паоло Руффини (1799) — итальянский врач и математик. Пишет доказательство невозможности решения уравнений 5-й степени в радикалах. Его работа — более 500 страниц! Но она сложна и содержит ошибки. Коллеги игнорируют.
▪️Нильс Хенрик Абель (1824) — норвежский гений, который умер в 26 лет от туберкулёза, но успел совершить революцию. Он публикует строгое доказательство: Уравнения степени 5 и выше НЕ имеют общего решения в радикалах. Абель доказывает, что невозможно выразить корни через коэффициенты с помощью плюсов, минусов, умножений, делений и извлечения корней. Но даже Абель не до конца объяснил.
▪️Эварист Галуа (1832) — французский гений, который живёт всего 20 лет и погибает на дуэли. За ночь до дуэли он пишет письмо другу, в котором излагает гениальную теорию. Он создаёт ТЕОРИЮ ГРУПП — абсолютно новый язык математики. Галуа доказывает:
— Для уравнений 2, 3, 4 степени группа Галуа разрешима. Теория Галуа стала основой современной алгебры.
— Для уравнений 5-й степени группа Галуа — это S₅, которая НЕ разрешима.
— Значит, решения в радикалах НЕТ и НЕ МОЖЕТ БЫТЬ.
Если формулы нет — как решают уравнения 5-й степени?
▫️ Способ 1 — Численные методы. Ньютон, метод секущих, метод Лагера. Находят корни с любой точностью.
▫️ Способ 2 — Специальные функции. В 1858 году Эрмит показал: корни квинтики можно выразить через эллиптические функции. Но это уже не "школьные" радикалы — это высшая математика.
#математика #высшая_математика #математический_анализ #maths #mathematics #math #алгебра #теория_групп
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
😖 Harmonograph Pendulum Aka Inventions At G.W.R. Exhibition [1937]
Как гармонограф повлиял на физику? В этой заметке поговорим о приборе, который находится на стыке искусства, эксперимента и глубокой теории — о гармонографе (Harmonograph). В конце XIX века это устройство было не просто научной игрушкой, а наглядной лабораторией сложения колебаний. Два или три маятника, соединенные с пишущим элементом, рождали на бумаге те самые фигуры Лиссажу и сложные спирали, которые мы сегодня видим в учебниках. Гармонограф напоминает нам, что за самыми красивыми узорами часто скрывается элегантная математика. Он был первым шагом от простого гармонического осциллятора к пониманию сложного, динамического мира.
📚 Подбор книг по теории колебаний, волнам, резонансам [около 90 книг]
Почему это было важно для теории колебаний?
1. Визуализация суперпозиции: До широкого распространения компьютеров гармонограф позволял увидеть результат сложения гармоник. Ученые могли изучать биения, резонанс и влияние малых возмущений в реальном времени.
2. Экспериментальная проверка: Сложные траектории, предсказанные уравнениями, получали физическое воплощение. Это помогало оттачивать саму математическую модель.
3. Мост к нелинейности: Усложненные гармонографы с нелинейной связью между маятниками давали узоры, намекающие на хаотическое поведение — тему, которая будет взорвана лишь век спустя.
Малоизвестные факты из теории колебаний:
▪️ Парадокс Даниэля Бернулли: В 18 веке он теоретически предсказал, что форму колебания струны можно представить как бесконечную сумму синусоид (ряд Фурье). Современники сочли это абсурдом — как конечное движение можно описать бесконечным рядом? Понадобились десятилетия, чтобы эта идея стала краеугольным камнем.
▪️ Стохастический резонанс: Иногда добавление шума в колебательную систему не разрушает, а усиливает полезный сигнал. Это не интуитивное явление наблюдается и в климатических моделях, и в работе нейронов.
▪️ Колебания в статике: Теория колебаний описывает не только маятники. Распространение трещин в материале, вспышки популяций в экологии и даже циклы экономики формально подчиняются тем же дифференциальным уравнениям.
📝 Какую математику нужно освоить, чтобы покорить теорию колебаний? Если вы студент и хотите глубоко понять эту область, вот ваш план:
▫️ 1. Математический анализ: Дифференциальное и интегральное исчисление — это язык, на котором говорит природа. Особенно важно понять производные и первообразные.
▫️ 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ): Базовый курс по ОДУ — ключ к решению уравнений движения маятника, груза на пружине и т.д. Фокус на линейные ОДУ с постоянными коэффициентами.
▫️ 3. Линейная алгебра: Понятия собственных значений и собственных векторов критически важны для анализа систем связанных осцилляторов (например, два маятника, соединенные пружиной).
▫️ 4. Комплексные числа: Они невероятно упрощают решение уравнений колебаний, превращая тригонометрию в элегантную экспоненту (формула Эйлера).
▫️ 5. Фурье-анализ: Для понимания разложения сложных колебаний на простые гармоники — следующий уровень мастерства.
Теория колебаний — раздел математики, в котором рассматривающая всевозможные колебания, абстрагируясь от их физической природы. Для этого используется аппарат дифференциальных уравнений.
А вы когда-нибудь видели настоящий гармонограф в работе? Или может, пробовали симулировать его в Python/Mathematica? Делитесь в комментариях. Фото и видео приветствуются. #физика #наука #science #physics #колебания #волны #опыты #эксперименты #теория_колебаний #математика
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
🔍 Есть интересная математическая задача, связанная с теорией вероятностей и математической статистикой. Эта задача позволяет вычислить постоянную 𝛑 , используя обычную иголку и лист бумаги, на котором начерчены линии с постоянным расстоянием между ними. Это знаменитая задача Бюффона об игле, одна из старейших и наиболее увлекательных головоломок из области геометрической вероятности.
Если вы кидаете иглу на лист с параллельными линиями, где длина иглы равна расстоянию между линиями, вероятность того, что игла пересечет линию, составляет 2/𝛑 ( ~64%). Если повторять процесс многократно и найти отношение количества игл, которые пересекли линии, к количеству игл всего, то можно вычислить значение числа 𝛑. Вспомните методы Монте Карло.
Чуть позже на канале разберу подробное видео по решению этой задачи. #видеоуроки #научные_фильмы #математика #статистика #math #наука #science #теория_вероятностей
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
💡Угольная дуговая лампа 1889 года в работе
Такие лампочки можно было встретить на улице Нью-Йорка или Лондона в 1890 году. В то время вы могли бы увидеть не тусклый газовой рожок, а белый яркий свет, рожденный электрической дугой. Так выглядела первая успешная технология искусственного освещения, которая появилась за десятилетия до лампы накаливания Эдисона. На видео — реставрированная открытая угольная лампа системы Ward (модель 1888–1894 годов). Такие лампы продавались по 50 долларов за штуку и стали первыми в мире серийными уличными фонарями. Их изобретатель Чарльз Браш запустил конструкцию в конце 1870-х, и к концу XIX века сотни тысяч таких «солнц на палке» горели в городах по всему миру.
▪️ Дуга горит в открытом воздухе между двумя угольными стержнями диаметром ½ дюйма.
▪️ Напряжение — 55 В, ток — 8 А (постоянный, пульсирующий). Это даёт мощность около 440 Вт.
▪️ Температура в центре дуги достигает ~6000 °C — это сравнимо с температурой поверхности Солнца!
▪️ Именно поэтому свет получается таким ярким и максимально приближенным к естественному дневному спектру (сплошной спектр с сильной УФ-составляющей).
▪️ Лампа потребляет около 3–4 ватт на свечу — по тем временам это был невероятный КПД по сравнению с газовым освещением.
Такие лампы исчезли из-за их главной проблемы — выгорания. Угольные стержни сгорали за всего 10 часов непрерывной работы, и их надо было вручную регулировать (механизм на видео как раз автоматически сближает стержни по мере горения). В конце 1890-х их сменили закрытые дуговые лампы — с миниатюрной стеклянной колбой вокруг дуги. Она отсекала кислород, и стержни служили уже до 90 часов. Экономия вышла колоссальной, и открытые лампы ушли в историю.
Этот экземпляр на видео — легендарная лампа «Ward Arc Lamp» от компании Electric Construction and Supply Company (Нью-Йорк). Она работала в 1890-м и стоила как неплохой велосипед или месячное жалованье рабочего. Хранится в музее Ingenium (Оттава, Канада). #физика #опыты #эксперименты #наука #science #physics #электродинамика #магнетизм #видеоуроки #схемотехника #радиофизика
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
📚 Дональд Кнут «Искусство программирования»
📙 Том 1. Основные алгоритмы
Первый том является введением в основные алгоритмы и структуры данных, описывает базовые понятия и методы программирования. Здесь же рассматривается тема представления данных в памяти компьютера и эффективной работы с ними.
Книга изобилует примерами для символьных вычислений, численных методов, методов имитации и многого другого.
Примеры программ написаны на так называемом «MIX-ассемблере» - языке, предназначенном для работы на гипотетическом «MIX-компьютере». В третьем издании устаревший MIX был заменен на MMIX, для которого существует программное обеспечение, обеспечивающее его эмуляцию.
Использование языка низкого уровня отпугивает многих читателей, но сам автор небезосновательно оправдывает свой выбор. Привязка к архитектуре позволяет судить о таких характеристиках алгоритма, как скорость и сложность (т. е. использование памяти).
📙 Том 2. Получисленные алгоритмы
Вторая книга посвящена введению в получисленные алгоритмы. Отдельный раздел посвящен арифметике, случайным числам и алгоритмам их генерации. Даются основы теории получисленных алгоритмов, подкрепленные многочисленными примерами.
Особого упоминания заслуживают предложенная Кнутом в настоящем издании новая трактовка генераторов случайных чисел, а также рассмотрение способов вычислений с помощью формальных степенных рядов.
📙 Том 3. Сортировка и поиск
В третьем томе содержится исчерпывающий обзор классических алгоритмов сортировки и поиска. Этот материал дополняет изложенную в первой части информацию о структурах данных становясь своего рода логическим продолжением первого тома.
Здесь автор рассказывает о внутренней и внешней памяти, о построении больших и малых баз данных и работе с ними. Для всех рассмотренных в книге алгоритмов приводится сравнительный анализ их эффективности. Специальный раздел посвящен методам оптимальной сортировки и описанию новой теории перестановки и универсального хеширования.
📙 Том 4. Комбинированные алгоритмы
Четвертый том сам по себе является многотомником. Комбинаторный поиск — богатая и важная тема, и Кнут приводит слишком много нового, интересного и полезного материала, чтобы его можно было разместить в одном или двух (а может быть, даже в трех) томах. Одна эта книга включает около 1500 упражнений с ответами для самостоятельной работы, а также сотни полезных фактов, которые вы не найдете ни в каких других публикациях. #программирование #алгоритмы #подборка_книг #computer_science #code #математика #math #physics #IT #лекции #видеоуроки
⚠️ UPD: Добавлены книги в лучшем качестве и в PDF 📚
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
〰️ Принцип Гюйгенса [1987] ШколФильм 🌀
Кинофрагмент рассказывает о законах, которым подчиняются волны при отражении от границ раздела сред и при переходе из одной среды в другую.
Лишь во второй половине XVII в. Х. Гюйгенс предложил принцип, который смог объяснить геометрическую оптику. Принцип Гюйгенса гласит, что каждая точка среды, до которой дошла волна, сама становится источником волны. И волновая поверхность в следующий момент времени является огибающей всех этих волн от вторичных источников. Хотя принцип Гюйгенса впервые был применен именно к свету, этот принцип легче всего понять на механической аналогии, поскольку он не зависит от физической природы волн. В самом деле, если поглядеть на образование волн на поверхности воды, можно убедиться, что их распространение обусловлено именно тем, что молекулы воды, до которых дошло колебание, сами начинают колебаться и передают колебания соседним молекулам. Говоря простыми словами, препятствия прекращают распространение волн именно потому, что они не дают колеблющимся молекулам воды быть вторичными источниками. #электричество #физика #оптика #волны #опыты #physics
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
⭕️ Две окружности радиусов 3 и 6 касаются одной прямой и друг друга. Чему равны стороны и площадь треугольника BDC ?
Вот такая математическая разминка, господа и дамы. Подумайте и напишите свои идеи в комментариях.
📝 Подсказка и разбор
#математика #алгебра #геометрия #math #разбор_задач
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
☺️ Применение эффекта ПВО в гидроакустике и не только
Условия полного внутреннего отражения для воды: n_вода = 1.33; n_воздух = 1.0. Предельный угол: θ_крит = arcsin(1/1.33) ≈ 48.75°.
При попадании лазерного излучения на границу под углом, большим 48° к нормали, вся энергия отражается внутрь струи. Это делает водяную струю естественным жидким световодом.
Хотя в телекоме используется стекловолокно, этот принцип применяется в струйных датчиках уровня и некоторых типах микрофлюидных систем, где оптический контроль среды происходит без контакта с «сухими» датчиками.
Наблюдение: эффект исчезает в момент турбулизации потока и образования капель, так как нарушается геометрия «идеальной трубы» для отражения.
Именно на этом принципе работают первые оптоволоконные линии. Только вместо воды там используется кварцевое стекло, а вместо воздуха — оболочка с низким показателем преломления. #оптика #эксперименты #волны #колебания #физика #physics #видеоуроки #опыты
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
⚡️ Если заменить обмотку ротора на более толстые провода, то мы наблюдаем увеличение оборотов электродвигателя. Работает ли здесь логика: меньше сопротивление → больше ток → больше сила Ампера ?
В маленьких дешевых электродвигателях (из игрушек, вентиляторов) основное сопротивление цепи часто находится не в меди обмотки, а в месте контакта графитовых щеток с коллектором (или в самих пружинках/проводниках). Когда вы поставили толстый провод, вы уменьшили внутреннее сопротивление обмотки, но щетки так и остались «узким горлышком». Закон Ома для полной цепи говорит, что ток определяется полным сопротивлением. Если общее сопротивление упало (пусть даже на 20–30%), то ток возрос.
Рост тока → рост силы Ампера → ротор ускоряется до тех пор, пока возросшая Противо-ЭДС (напряжение, вырабатываемое ротором) не ограничит этот ток. Но так как щеточный контакт вносит нелинейные потери, новое равновесие наступает при чуть большей скорости.
Что именно тормозит ротор?
▪️ 1. Механические потери: трение в подшипниках и сопротивление воздуха (аэродинамическое сопротивление крыльчатки, если она есть).
▪️ 2. Самый главный ограничитель скорости — Противо-ЭДС (электрическое торможение). Когда ротор крутится в магнитном поле, он работает как генератор и вырабатывает напряжение, направленное навстречу току от батарейки.
В результате результирующий ток в обмотке падает: I = (Uбат — Eпротив-эдс) / R. А сила Ампера (которая создает вращающий момент М) прямо пропорциональна этому току I.
Именно поэтому, заменив провода на толстые (уменьшив R), мы уменьшили потери напряжения, ток стал больше при тех же оборотах, противо-ЭДС пришлось "подрасти" (чтобы снова ограничить ток до рабочего уровня), а для роста противо-ЭДС ротору пришлось крутиться быстрее. #физика #опыты #эксперименты #наука #science #physics #электродинамика #магнетизм #видеоуроки #схемотехника #радиофизика
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Эту задачу решают по-разному. Кто прав? 🤯
🖥 Дан массив целых чисел. Найти индекс элемента, который не равен ни предыдущему, ни следующему (крайние элементы не проверяем).
Ограничение: длина массива ≥ 3.
Допустим... сделаем так...
def find_unique(arr):
return next(i for i in range(1, len(arr)-1)
if arr[i] not in (arr[i-1], arr[i+1]))
f=lambda a:next(i for i in range(1,len(a)-1)if a[i]-a[i-1]and a[i]-a[i+1])
📘 «Основы электрических цепей» (Fundamentals of Electric Circuits), Чарльз К. Александр, Мэттью Н. О. Садику
💾 Скачать книгу
В мире технической литературы найти учебник, который одинаково полезен и новичку, и практикующему инженеру, — задача не из легких. Однако труд Чарльза Александра и Мэттью Садику, выдержавший уже несколько переизданий (речь о версии 2009 года), является именно таким редким случаем, когда фундаментальность сочетается с доступностью изложения.
Главное, что отличает этот учебник от многих других, — это его «дружелюбность» к читателю. Авторы не бросают студента на произвол судьбы, сразу погружая в дебри сложных вычислений. Вместо этого они предлагают продуманную систему подачи материала: от простых примеров к более сложным концепциям. Текст изобилует подробными объяснениями, а цветные схемы и визуальное выделение различных компонентов делают восприятие информации гораздо легче, чем в некоторых «классических» учебниках с черно-белыми иллюстрациями. #схемотехника #электроника #электричество #магнетизм #физика #physics
📚 Искусство схемотехники, 4-е издание (в 3 томах) [1993—2014] Пауль Хоровиц, Уинфилд Хилл
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
🔊 Колебания, стоячие волны, резонанс и сахар в качестве индикатора узлов звуковых волн
〰️ Стоячая волна — это устойчивый колебательный (волновой) процесс, возникающий при наложении волн, согласованных по времени и длине. Допустим, в какой-то среде возникает волна. Скажем, человек спел звук. Звуковая волна распространяется и попадает на поверхность. Звук отражается: отражённая волна идёт обратно. Теперь у нас 2 звуковых волны. Как они взаимодействуют? Преграды и неоднородности вызывают наложения падающей и отражённой волн. На результат влияют частота и фаза звука, направление распространения и затухание волн в среде. Вы знаете, что мягкие ткани гасят звук, а твердые вещества, наоборот, хорошо проводят его.
⠀
Допустим, у нас каменный тоннель: он не гасит, а хорошо отражает звук. Если подобрать звук с длиной волны, которая совпадает (или кратна) с поперечным размером тоннеля, мы получим интересный эффект. Возникает стоячая волна. Падающая и отражённая волны согласованы по времени: они начинают усиливать друг друга. Это явление называется резонанс. Стоячая волна появляется при отсутствии потерь в среде распространения и полном отражении падающей волны. В жизни такого нет, небольшие потери энергии будут всегда. #научные_фильмы #опыты #physics #science #физика #наука #механика #колебания #волны
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
⤵️ Задача по физике для наших подписчиков
Оценить характерное расстояние, на котором человек видит «мокрый асфальт» на длинной прямой трассе в жаркий летний день. Это явление, когда мы видимо нечто похожее на воду, но при приближении к этому месту, «вода» (где она должна была быть) исчезает. Как оценить расстояние от глаз до этой точки? Оценить характерное расстояние, на котором человек видит «мокрый асфальт» на длинной прямой трассе в жаркий летний день.
✏️ Ваши идеи и решения в комментариях здесь...
#физика #олимпиады #задачи #разбор_задач #оптика #математика #наука #physics #science
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
📘 Обучение решению задач по математике [1988] Василевский
Рассматриваются методы решения задач элементарной математики. Приводятся общие и частные алгоритмы поиска решения нестандартных уравнений и неравенств, геометрических и других задач. Описывается комплексное использование различных методов при решении задач повышенной трудности. Для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. Может быть использовано при проведении практикумов, спецкурсов и спецсеминаров.
📕 Методы решения задач [1974] Василевский А.Б.
Книга представляет собой учебное пособие для студентов математических специальностей педагогических институтов. В ней рассматриваются общие и частные методы решения тех математических задач, которые имеются в школьных учебниках и с которыми встречаются учащиеся на олимпиадах, конкурсных экзаменах и т. д. Новыми программами для математических факультетов пединститутов предусматривается проведение на третьем и четвертом курсах практикума по решению задач. Этот практикум состоит из четырех частей (алгебра, геометрия, тригонометрия и решение конкурсных и олимпиадных задач).
📔 Устные упражнения по геометрии [1983] Василевский А.Б.
Пособие содержит устные упражнения различной степени трудности, преимущественно нестандартные как по содержанию, так и по методам решения. Их можно использовать при изучении нового материала, при повторении основных тем, а также во внеклассной работе е учащимися VI—X классов.
📗 Методы решения геометрических задач [1974] Василевский А.Б.
Учебное пособие для математических факультетов педагогических институтов и университетов по курсам «Элементарная геометрия» и «Методика преподавания математики». В пособии рассматриваются методы решения геометрических задач, заданных проекционным чертежом, использование геометрических преобразований при решении задач на доказательство и построение, алгебраический метод решения конструктивных задач, роль развертки как средства анализа и расчета. Приводятся задачи на вычисление и построение, условия которых выражены приближенными величинами. Излагаются способы конструирования разверток пространственных фигур и их моделей.
Пособие может быть использовано также учителями средней школы. #математика #подборка_книг #math #высшая_математика #математический_анализ #алгебра #calculus
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
⚙️ Двигатель Ванкеля: другой путь для ДВС
💠 Привычный поршневой мотор с его возвратно-поступательной механикой — не единственный способ преобразовать энергию топлива во вращение. Роторный двигатель предлагает принципиально иное решение. В основе роторно-поршневого двигателя (РПД) лежит треугольник Рёло — фигура, обладающая свойством постоянной ширины. Это означает, что расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми, касающимися контура, всегда одинаково, независимо от угла поворота. Для треугольника Рёло это расстояние равно длине его стороны. Камера имеет форму эпитрохоиды — кривой, которую описывает точка окружности, катящейся по другой окружности снаружи. Ротор, вращаясь внутри такой камеры, постоянно касается стенок тремя вершинами, разделяя внутреннее пространство на три изолированные полости. Объём каждой полости циклически изменяется за счёт того, что центр ротора движется по круговой траектории вокруг выходного вала, а сам ротор совершает сложное плоскопараллельное движение, подобное движению планет в эпициклической передаче. За один полный оборот ротора происходит три полных рабочих цикла, а эксцентриковый вал, жёстко связанный с центроидой (геометрическим центром ротора), делает три оборота.
🔥 Особенность камеры сгорания роторного двигателя — её вытянутая, серповидная форма. Относительная площадь поверхности стенок к объёму здесь выше, чем в цилиндре поршневого мотора. Это ведёт к большим тепловым потерям: энергия рабочего тела уходит в стенки, а не в совершение работы. Тепловой КПД роторного мотора в реальных условиях ниже, чем у хорошего поршневого агрегата.
Фронт пламени при воспламенении смеси распространяется в щелевидном пространстве, что увеличивает время догорания и делает процесс неравномерным. Особенно это заметно на переходных режимах. Кроме того, из-за асимметрии камеры турбулентность заряда на такте сжатия слабее, что ухудшает смесеобразование.
Главная конструктивная проблема — уплотнения на вершинах ротора (апексы). Они движутся вдоль стенки с высокой линейной скоростью (более 30 м/с) и при этом испытывают резкие перепады температуры и давления. За один оборот вала каждый апекс проходит через четыре такта с разными тепловыми режимами. Коэффициент трения в контакте "апекс — стенка" высок, и при недостатке масла возникает задир. Именно поэтому в масло РПД добавляют специальные противоизносные присадки, а замена масла требуется чаще, чем у поршневых двигателей.
📝 Автором концепции выступил Вальтер Фройде, руководитель инженерной группы немецкой компании NSU. Феликс Ванкель, чьё имя закрепилось за мотором, работал над уплотнениями и другой конструкцией, но именно схема Фройде легла в основу серийных образцов. Первый рабочий прототип DKM 54 запустили 1 февраля 1957 года. Однако ранний вариант оказался сложным, и уже в 1958 году появилась более практичная версия KKM с неподвижным корпусом. Первым серийным автомобилем с РПД стал NSU Spider в 1964 году, а затем — NSU Ro 80.
⚙️ У роторного двигателя есть бесспорные достоинства: компактность, малый вес, высокая удельная мощность и плавность работы благодаря отсутствию возвратно-поступательных движений. Практически полное отсутствие вибраций позволяет поднимать рабочие обороты до 7–8 тысяч без дополнительных балансиров. Но физические ограничения оказались серьёзными. Уплотнения изнашиваются быстрее, чем поршневые кольца. Камера сгорания имеет неблагоприятное отношение поверхности к объёму, что снижает термический КПД. Топливо сгорает неполностью — выбросы углеводородов у РПД выше в два-три раза, чем у поршневых аналогов. Удельный расход топлива на средних и высоких оборотах заметно выше.
🚘 Японские инженеры Mazda довели конструкцию до ума, увеличив ресурс апексов за счёт применения керамических покрытий и более жёстких материалов, а также создали двигатель Renesis с боковыми впускными и выпускными окнами, что позволило сократить перекрытие фаз и снизить выбросы. #физика #physics #механика #видеоуроки #научные_фильмы #ДВС #техника #опыты #лекции #physics #механика
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
📝 Формула Эйлера: из тригонометрического в показательный вид
Формула Эйлера имеет вид: eⁱˣ = cos x + i·sin x.
▪️ 1. Определим функцию f: ℝ → ℂ. Пусть f(x) = cos x + i·sin x. Она обладает тремя свойствами, выводимыми чисто из тригонометрии: ▫️(1) f(0) = cos 0 + i·sin 0 = 1 + i·0 = 1 ▫️(2) f(x+y) = f(x)·f(y)
Это прямое следствие формул сложения: cos(x+y) = cos x·cos y − sin x·sin y и sin(x+y) = sin x·cos y + cos x·sin y.
После подстановки и группировки получаем: cos(x+y) + i·sin(x+y) = (cos x + i·sin x)·(cos y + i·sin y).▫️(3) f'(x) = −sin x + i·cos x = i·(cos x + i·sin x) = i·f(x)
▪️ 2. Задача Коши и единственность решения. Рассмотрим дифференциальное уравнение: y' = i·y, y(0) = 1 в поле комплексных чисел. Функция f(x) = cos x + i·sin x является его решением.
Теперь рассмотрим функцию g(x) = eⁱˣ, где экспонента определена стандартным степенным рядом: eᶻ = 1 + z/1! + z²/2! + z³/3! + …
Для z = ix ряд сходится абсолютно на всей плоскости. Функция g(x) удовлетворяет тому же уравнению: g'(x) = i·eⁱˣ = i·g(x), g(0) = 1
В силу теоремы Пикара–Линделёфа (глобальная липшицевость с константой |i| = 1) решение задачи Коши единственно на всём ℝ. Следовательно: f(x) ≡ g(x) ⇒ cos x + i·sin x ≡ eⁱˣ. Что и требовалось.
🟡 Факт 1. Роль аналитичности. Если отказаться от требования комплексной дифференцируемости, существуют гладкие функции F: ℂ → ℂ, совпадающие с eˣ на вещественной оси и принимающие значение cos x + i·sin x на мнимой оси, но не являющиеся экспонентой. Пример строится с использованием функций типа exp(−1/x²). Таким образом, равенство Эйлера — это не просто свойство, а следствие требования аналитичности.
🟡Факт 2. Гомоморфизм групп. Отображение φ: ℝ → S¹, φ(x) = eⁱˣ, является непрерывным гомоморфизмом из аддитивной группы ℝ в мультипликативную группу единичной окружности S¹. Это свойство редко упоминается при «выводе», но именно оно лежит в основе теории характеров и преобразования Фурье на компактных группах.
🟡Факт 3. Алгебраическая независимость формул сложения. Тождество f(x+y) = f(x)·f(y) эквивалентно двум формулам сложения для синуса и косинуса. Однако оно может быть выведено чисто алгебраически из системы дифференциальных уравнений:s' = c, c' = −s, s(0)=0, c(0)=1 без привлечения геометрических построений. Это делает вывод полностью замкнутым внутри анализа.
🟡Факт 4. Топологическое следствие. Экспоненциальное отображение exp: iℝ → S¹ не является изоморфизмом групп, поскольку его ядро — множество 2πi·ℤ. Из формулы Эйлера автоматически следует, что период косинуса и синуса равен 2π (если определить π через первый положительный корень уравнения cos x = 0). Таким образом, формула Эйлера и определение числа π оказываются взаимосвязанными.
Тригонометрическая форма — это не «следствие» экспоненты, а альтернативная реализация той же самой аналитической функции. Этот факт имеет глубокие связи с теорией групп Ли, теорией представлений и гармоническим анализом на окружности. #математика #высшая_математика #математический_анализ #maths #mathematics #math
📝 📝📝 Самая красивая математическая формула
Математика около числа❤️ : Второй замечательный предел
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
💧 Найти объем: простая геометрическая задача, в которой ошибается 50% людей
Предыдущая задача заставила меня задуматься и я решил немного развить тему объема. Получился интересный материал. От школьной математики до математического анализа на примере вычисления объемов. Начнем с простого, закончим чистой математикой и приложением на базе исторических фактов. Готовы? Тогда погнали... 😎👇
🔎 Читать статью полностью
#математика #физика #геометрия #physics #разбор_задач
💡 Репетитор IT mentor // @mentor_it
После бакалавриата можно долго искать себя.
А можно выбрать путь, где всё уже направлено на развитие и профессиональный рост.
✅ МГУ Саров — это:
— реальные научные исследования;
— работа с современными технологиями;
— стажировки в ведущих научных организациях;
— перспективная карьера в науке и высокотехнологичных отраслях.
Не откладывай следующий шаг в своём образовании.
Подай заявку уже сегодня 🚀
✨ Электроника и схемотехника
В этом посте предлагаю обсудить вопросы, связанные с электроникой и цифровой схемотехникой. Всё это будет полезно начинающим.
◾️ 1. С чего начать изучать электронику?
◾️ 2. Стоит ли прочитать учебник по физике, раздел "электричество и магнетизм" ?
◾️ 3. Лучше начинать с аналоговых приборов или сразу переходить к изучению цифровой схемотехники?
◾️ 4. Нужны ли хорошие знания электроники человеку, занимающемуся программированием встраиваемых систем?
◾️ 5. Стоит ли пытаться травить платы самостоятельно или лучше заказать?
◾️ 6. Хлористое железо, лимонная кислота или фоторезистор?
◾️ 7. Что нужно спаять первым делом? С чего начинать практику?
◾️ 8. Какой набор инструментов/приборов хватит начинающему радиолюбителю?
✍🏻 Обсуждаем здесь в комментариях
#электроника #схемотехника #радиофизика #ночной_чат #физика #опыты #эксперименты #наука #science #physics #электродинамика #магнетизм #видеоуроки #схемотехника #радиофизика
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
📚 Искусство программирования / The Art of Computer Programming
💾 Скачать книги
📙 Том 1. Основные алгоритмы.
📙 Том 2. Получисленные алгоритмы.
📙 Том 3. Сортировка и поиск.
📙 Том 4.1. Комбинаторные алгоритмы.
📙 Том 4.2. Генерация всех кортежей и перестановок
📙 Том 4.3 Генерация всех сочетаний и разбиений
📙 Том 4.4 Генерация всех деревьев. История комбинаторной генерации
Поскольку Кнут всегда считал «Искусство программирования» основным проектом своей жизни, в 1993 году он вышел на пенсию с намерением полностью сконцентрироваться на написании недостающих частей и приведении в порядок существующих. Он полагал, что на завершение работы потребуется 20 лет.
«Искусство программирования» (англ. The Art of Computer Programming) — фундаментальная монография известного американского математика и специалиста в области компьютерных наук Дональда Кнута, посвященная рассмотрению и анализу важнейших алгоритмов, используемых в информатике. В 1999 году книга была признана одной из двенадцати лучших физико-математических монографий столетия.
Основной чертой монографии Кнута, выгодно отличающей её от других книг, посвящённых программированию, является исключительно высоко поднятая планка качества материала и академичности изложения, а также глубина анализа рассматриваемых вопросов. Благодаря этому она стала настоящим бестселлером и настольной книгой каждого профессионального программиста. #программирование #алгоритмы #подборка_книг #computer_science #code #математика #math #physics #IT #лекции #видеоуроки
⚠️ UPD: Добавлены книги в лучшем качестве и в PDF 📚
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib