Telegram-канал dohod - ДОХОДЪ: Бизнес и стартапы

ДОХОДЪ

30 июня 2024 11:33

Друзья,

Правильный ответ на задачку в предыдущем посте: «<= 0», а именно около - (минус) 29.3%.

Около 28% проголосовавших дали верный ответ. Однако ~72% ошиблись.

👉 Решение

Простой способ подойти к решению – рассчитать «ожидаемый» результат одной попытки.

Так как каждый из исходов одинаково вероятен, «в среднем» каждый рубль, который мы вкладываем, превращается в (2 руб. + 0,25 руб.)/2 = 1,125 руб.

Это «положительная» ожидаемая доходность в 12,5%.

Такие ставки называются ставками с «положительным ожиданием». В среднем мы ожидаем «заработать», а не «потерять» на них деньги.

Конечно, в любой отдельной попытке мы можем понести убытки. Но поскольку наша ставка имеет положительное математическое ожидание, «со временем» мы ожидаем заработать.

Но в этом сценарии мы не реинвестируем прибыль. Мы «ставим»только 1 руб. на каждом ходу. Мы не взяли результат с первой попытки и не перенесли его на вторую и так далее.

Итак, если мы будем реинвестировать результаты предыдущих попыток, мы, получим что-то вроде 1 руб. * (1,125 ^ 100) = ~ 130 тысяч руб., верно?

К сожалению нет.

Если мы используем реинвестирование 100 раз, наши шансы заработать деньги «упадут» до крошечных ~0,04%.

То есть с вероятностью более 99,95% мы в итоге «потеряем» деньги.

Как это возможно?

При каждой «удаче» наше богатство умножается на 2. Но при каждой «неудаче» оно умножается на 1/4 (0.25), поскольку 3/4 теряется.

Таким образом, каждый неудачный ход отменяет два удачных хода!

То есть, если мы хотим в целом заработать деньги, число удачных попыток должно превосходить количество неудачных как минимум в два раза.

За 100 ходов нам, скорее всего, повезет 50 раз, а остальные 50 раз не повезет.

Но чтобы заработать деньги по итогам 100 попыток, нам нужно, чтобы повезло как минимум 67 раз = 67 / (100-67) =~ 2.

Но по условиям задачи за 100 попыток нам повезет всего около 50 раз. Поэтому, мы, скорее всего, потеряем деньги.

Чтобы найти вероятность появления 67 и более удачных попыток из 100 (около 0.04%), нужно воспользоваться формулой Бернулли:

Вероятность P наступления ровно k успехов при проведении серии из n одинаковых и независимых испытаний
с вероятностью успеха р и вероятностью неуспеха q = 1 - р равна:

P(k) = Cnk * n^k * q^(n-k),

где Cnk = n! / (k!*(n-k)!) = число сочетаний из n по k.

Сумма вероятностей P для для успехов k от 67 до 100 и будет той, что мы ищем.

Но сколько мы потеряем «в среднем»?

На самом деле есть два вида ожиданий.

🔹Наше обычное представление об ожидании - доходе, который мы ожидаем получить без реинвестирования называется «арифметическим» ожиданием.

🔹Но есть и «геометрические» ожидания. Это доход, который мы ожидаем получить при использовании сложного процента (реинвестировании).

Вот формула геометрического ожидания (GE):

GE = f1^p1 * f2^p2 * f3 ^p3 * … * fn^pn,

где f - результат исхода, p - вероятность исхода.

В нашем случае:

GE = 2^0.5 * 0.25^0.5 =~ 0.707.

То есть ожидаемый остаток нашего капитала составит 70.7% от начального, а ожидаемый убыток 100% - 70.7% = 29.3%.

Поэтому правильный ответ «<= 0».

👉 Полезные выводы

1. Инвестиция может иметь положительное арифметическое, но отрицательное геометрическое ожидание.

Каждая отдельная попытка может нести в себе положительную ожидаемую доходность. Но совокупный эффект многих попыток может привести к убыткам.

В этой ситуации вы можете извлечь выгоду, реинвестируя только определеную часть прибыли (можете изучить Критерий Келли).

2. Всякий раз, когда «ставка» имеет ненулевой шанс полного проигрыша, ее «геометрическое» ожидание равно 0 (вы потеряете всё).

Это ситуация типа русской рулетки. Ее «арифметическое» ожидание может быть положительным, но если мы продолжим испытывать удачу и повторять попытки, мы в конечном итоге застрелимся.

3. Интересно, что Даниил Бернулли понял геометрическое ожидание и Критерий Келли еще в 1738 году. Более того, он примерил все это для решения проблем страхования морских перевозок.

#доходъзадачки