6648
Решаем задачи по геометрии каждый день. Автор — Наталья Нетрусова @natnetint Чат https://t.me/joinchat/DxYaB0QLindiVZpW32-rfQ По вопросам рекламы: @natnetint
Задача 107. Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая на этих прямых. Одной линейкой проведите через точку прямую, параллельную данным.
#задача
Картинка 23. Периодические замощения плоскости пятиугольниками.
#картинка
Картинка 22. Разбиение правильного треугольника на 5 равных частей.
Автор: Михаил Патракеев
#картинка
А вот моя статья из «Математического просвещения», в которой решены все разрешимые задачи на восстановление треугольника (за исключением вышеперечисленных), рассмотрена история вопроса, задачи на восстановление классифицированы и предложены навигаторы для учителя и для решающего по номеру задачи, по трудности и по идее решения.
#статья
Начнём сначала. Вначале был журнал «Математика в школе». И вот однажды, в 1937 году, в его №5-6 была опубликована статья В. В. Фурсенко с длинным названием «Лексикографическое изложение конструктивных задач геометрии треугольника». В этой статье Фурсенко расположил все задачи на построение треугольника в лексикографическом порядке, решил все задачи, которые имеют решение и перечислил все задачи, которые решения не имеют.
В педагогической практике известны задачи на восстановление треугольника по трём заданным точкам. В 1982 году Верник так же, как и Фурсенко в 1937-ом, составил лексигографический список задач на восстановление треугольника. Им были выбраны самые популярные точки геометрии треугольника:
A, B, C, O — вершины треугольника и центр описанной окружности;
M_a, M_b, M_c, G — середины сторон треугольника и центр масс;
H_a, H_b, H_c, H — основания высот треугольника и ортоцентр;
T_a, T_b, T_c, I — основания биссектрис треугольника и центр вписанной окружности.
(Замечу в скобках, что мне ближе другие обозначения, но эти совпадают с нижеприведёнными на картинке.)
После чего он составил список, который называется список Верника, в котором из 139 принципиально различных задач лексикографического списка имеют решение чуть больше половины — 72 задачи. Интересно, что сам Верник, не исследовал задачи на неразрешимость, а нашел решение только 65 задач (например, у него нет решения красивой задачи №43). Расшифровка пометок в этом списке такова:
S — задача имеет решение.
U — задача не имеет решения (доказано не Верником, а последователями и, как правило, с помощью барицентрических координат).
L — (locus dependent) данные точки не могут распологаться как угодно, а лежат на некотором ГМТ.
R — (redundant) «сводящаяся» задача: положение одной из точек определяется двумя другими.
Меня, как учителя, не интересуют задачи этого списка, которые не имеют решения. Мне интересны только те задачи, про которые известно, что у них решение есть. Как было отмечено выше, таких 72 штуки. На сегодняшний день мне не поддаются три задачи этого списка:
№57: (A, H, I),
№82: (O, T_a, I),
№131: (H_a, H, I).
Буду очень признателен всем, кто знает как решить эти задачи. Разумеется, имеется в виду и интересны только синтетические (чисто геометрические) решения — чистые доказательства существования, например, в барицентрических координатах — не предлагать. Исследование на количество решений не интересует — важно получить хотя бы одно.
Я весьма признателен Григорию Борисовичу Филлиповскому за то, что он познакомил меня с этими задачами и научил решать задачу №43 списка Верника.
Желающие поговорить о геометрии, заходите в чатик: https://t.me/joinchat/AAAAAEQLinfWzty132-rfQ
Читать полностью…
Задача 105. (M₁, H₂, L₁). Восстановить треугольник по основаниям медианы и биссектрисы, проведённым из одной вершины, и основанию высоты, проведённой из другой вершины.
#задача
104. (M1, M2, H). Восстановите треугольник по основаниям двух медиан и ортоцентру.
#задача
Картинка 19. Площадь треугольника S=pr.
#картинка
102. (A, L₁, L₂). Восстановить треугольник по вершине A и основаниям L₁ и L₂ биссектрис из вершин A и B соответственно.
#задача
Почитайте целиком весь сборник Проблемы современного математического образования (pdf).
Помимо статьи Дмитрия Шноля, там есть еще статья Владимира Шарича о кризисе олимпиадного движения, статья Владимира Дубровского о применении программ динамической геометрии в преподавании и другие интересности.
#статья
Задача 101. (L₁, L₂, I) Восстановить треугольник по основаниям двух биссектрисс и инцентру.
#задача
Комментарий к картинке 23. На этой картинке перечисленны все известные на сегодняшний день периодические замощения плоскости пятиугольниками. Последнее такое замощение было открыто в августе 2015, предпоследнее — в 1985. Неизвестно, существуют ли другие замощения какими-либо другими пятиугольниками. Неизвестно, конечно ли число таких периодичсеских замощений. Известно непериодическое замощение плоскости пятиугольниками с углами A = 140 °, B = 60°, С = 160°, D = 80°, Е = 100°. Об этом — в завтрашней картинке.
Читать полностью…
Комментарий к картинке 22. Что означает равенство пяти частей.
Представим, что все одноцветные фигуры напечатаны на прозрачке без изменения их взаимного расположения. Если теперь все пять таких прозрачек наложить одну на другую, то все пять одноцветных несвязных кусков совпадут.
«Математика в школе», 1937 №5. Тот самый номер. Скачивайте. Здесь решены все (ещё раз — внимание! — ВСЕ!!! задачи на построение треугольника).
#книга
Задача 106. (H₁, H₂, L₁). Восстановить треугольник по основаниям высоты и биссектрисы, проведённым из одной вершины, и основанию высоты, проведённой из другой вершины.
#задача
Картинка 20. Сумма квадратов. На эту тему есть замечательное видео на не менее замечательном сайте математических этюдов:
http://www.etudes.ru/ru/models/sumofsquares/
#картинка
103. (M, H₁, L₁). Восстановить треугольник по центроиду (точке пересечения медиан), основанию H₁ высоты из вершины A и основанию L₁ биссектрисы из той же вершины.
#задача
Картинка 18. Ещё одна сумма ряда
Дополнительная задача: найти координаты точки "к которой все эти квадраты сходятся".
#картинка
Отрывок из статьи Дмитрия Шноля «Исследовательские задачи по математике в российской школе»
#статья
Картинка 16. Сходимость ряда из обратных квадратов
#картинка