Геометрия-канал

22 февраля 2017 14:13

Будем рассматривать эту картинку как результат сгибания листа бумаги — сначала перегнём треугольник AMB по гипотенузе AM, потом перегнём треугольник AND по гипотенузе AN. Так как при сгибании сумма углов при вершине А уменьшится вдвое, то в результате AB совместится с AD, а точки D и B попадут в одну точку G — основание высоты треугольника AMN.

Далее, угол AEF = 45° + EAB = 45° + EAG = 135° – AMG = 180° – MAN – AMN = ANM, и аналогично, равны углы AFE и AMN. Поэтому треугольник AEF подобен треугольнику AMN.

А так как высота AG в треугольнике AMN равна стороне квадрата, а высота из вершины A в треугольнике AEF равна половине диагонали, то коэффициент подобия равен 1/√2. Следовательно, отношение площадей AEF и AMN равно 1/2.

Геометрия-канал

21 февраля 2017 06:40

36. Треугольник AMN с углом A=45° вписан в квадрат ABCD так, что M лежит на BC, а N лежит на CD. В каком отношении диагональ BD делит площадь этого треугольника?

Геометрия-канал

20 февраля 2017 07:32

Сегодняшняя задача навеяна своим номером.

35. Найдите углы четырехугольника ABCD, если угол CBD равен 35°, угол ABD равен 65°, угол ADC равен 130°, а BC=BA.

Геометрия-канал

19 февраля 2017 19:33

Автором задачи 34 является Архимед. Когда в середине 1980-х редакция «Кванта» объявила конкурс среди авторов на лучшую задачу, которую можно будет опубликовать в задачнике под номером 1000, она получила массу новых и интересных задач, но в итоге была выбрана именно задача Архимеда. Решение — http://kvant.mccme.ru/1986/12/p32.htm

Геометрия-канал

18 февраля 2017 21:02

Ответ на второй вопрос задачи 33 — тоже «да». Объяснение на чертеже.
http://blog.kknop.com/2017/02/blog-post_18.html

Геометрия-канал

18 февраля 2017 20:05

Ответ на первый вопрос задачи 33 — да, можно. Пример покрытия показан на рисунке

Геометрия-канал

17 февраля 2017 20:10

(Задача Московской устной олимпиады по геометрии 2007 г.)

Геометрия-канал

17 февраля 2017 06:23

Сегодня день рождения Сергея Валерьевича Маркелова — замечательного автора многих красивых геометрических задач. Вот одна из моих любимых.
33. Треугольник разбили на 5 подобных ему треугольников. Верно ли, что все они прямоугольные?

Геометрия-канал

16 февраля 2017 06:15

Многие заметили, что вчерашняя задача 31 допускала очень разные решения, в том числе и аналитические. В ещё большей степени это относится к сегодняшней задаче. Если будете решать — постарайтесь найти как можно больше идейно различных решений.
32. На сторонах AC и BC треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ACDE и BCFG. Докажите, что середина отрезка EG не зависит от положения точки C.

Геометрия-канал

15 февраля 2017 06:14

31. Боковая сторона BC трапеции ABCD равна сумме оснований. Докажите, что биссектрисы углов B и C пересекаются на стороне AD.

Геометрия-канал

14 февраля 2017 23:42

Решение задачи 29:
У треугольников ABK и CBM общий угол В, поэтому эти треугольники равны по стороне и прилежащим углам. Тогда ∠BCM = ∠BAK и CB = AB = 15, значит, CK = AM = 7.

Учитывая, что ∠CKO = ∠AMO (они дополняют равные углы до развернутых), получим, что ΔCOK = ΔAOM (по стороне и прилежащим углам). Следовательно, OK = OM. Таким образом, PΔCOK = CK + CO + OK = CK + CO + OM = CK + CM = 16.

Геометрия-канал

14 февраля 2017 08:14

Держите простую задачку, а Дима вечером запостит сложную:
29. На сторонах угла ABC отмечены точки М и K так, что углы BMC и BKA равны, BM = BK, AB = 15, BK = 8, CM = 9. Найдите периметр треугольника СOK, где O — точка пересечения прямых AK и СМ.

Геометрия-канал

12 февраля 2017 17:49

Доказательство теоремы о трех колпаках (задачи 22):
http://telegra.ph/D-vo-T-o-3-h-kolpakah-02-12

Геометрия-канал

11 февраля 2017 22:06

Каналу месяц. За это время пришли 530 подписчиков, авторов стало больше, я научилась прятать решения. Спасибо всем вам за то, что решаете задачки. Если вам нравится, поделитесь ссылкой со своими друзьями, пусть они тоже встречаются с геометрией каждый день: t.me/geometrykanal

Геометрия-канал

09 февраля 2017 22:17

Решение задачи 26:
Конечно, существует. Таких многогранников много. Приведу два примера, которые получаются вырезанием кусочков из прямой треугольной призмы:

Геометрия-канал

22 февраля 2017 12:00

Ответ на задачу 36: диагональ делит треугольник на две равные по площади части (AEF и EFNM на рисунке).

Геометрия-канал

20 февраля 2017 20:27

Идея решения задачи 35: раз BC=BA, то точки A и C лежат на окружности с центром B. Докажем, что и D лежит на этой же окружности. Это следует из того, что угол 130° равен половине от (360°–35°–65°), то есть половине центрального угла. Следовательно, он вписанный...
Ну а дальше всё просто: треугольники ABD и DBC равнобедренные, а по углу при вершине легко находим углы при основании.

Геометрия-канал

19 февраля 2017 19:51

Еще два красивых доказательства этого факта (по-английски, кстати, он красиво называется «Теорема о сломанной хорде»):
http://www.cut-the-knot.org/triangle/BrokenChordBQT.shtml#proof
и http://www.cut-the-knot.org/triangle/BrokenChordmpdlc.shtml#proof

Геометрия-канал

19 февраля 2017 08:50

34. В дугу AВ окружности вписана ломаная АМВ, состоящая из двух отрезков. Докажите, что основание перпендикуляра, опущенного из середины дуги АВ на больший отрезок АМ, делит ломаную пополам.

Геометрия-канал

18 февраля 2017 20:06

Над вторым вопросом подумайте еще пару часиков ;-)

Геометрия-канал

18 февраля 2017 10:07

Сегодняшняя задача — из комбинаторной геометрии.
33. Как тремя единичными квадратами полностью покрыть [возможно, с наложениями] правильный треугольник со стороной 2? Можно ли покрыть правильный треугольник со стороной, большей двух?

Геометрия-канал

17 февраля 2017 20:09

На картинке — контрпример: треугольник с углами 30-30-120 разрезан на пять подобных себе.

Геометрия-канал

16 февраля 2017 18:20

Решение задачи 32.
http://blog.kknop.com/2017/02/blog-post.html
(место нестандартное, если у кого-то плохо отображается — пишите. буду думать, как это поправить)

Геометрия-канал

15 февраля 2017 21:07

Решение задачи 31. Соединим середины боковых сторон — E и F. Так как EF = (AB+CD)/2 = BC/2 = BF =FC, то F — центр окружности, описанной около BEC. Так как центр описанной окружности лежит на середине стороны, то треугольник BEC прямоугольный. Из равнобедренности EFB получаем, что EB — биссектриса угла B, аналогично EC — биссектриса угла C. Мы доказали, что биссектрисы пересеклись в середине стороны AD трапеции.

Геометрия-канал

14 февраля 2017 23:48

Hello, world! Ближайшую неделю на канале с Вами буду я, Константин Кноп

Геометрия-канал

14 февраля 2017 20:37

30. Еженедельный гроб #2:
Дан треугольник ABC. M, N — пересечения биссектрис со сторонами. I — центр вписанной окружности. P, Q — пересечение MN с описанной окружностью треугольника ABC (ω). Доказать, что радиус окружности, описаной вокруг PIQ, равен 2r, где r — радиус ω.

Геометрия-канал

13 февраля 2017 10:54

28. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбрана такая точка D, что BD = BC, а на катете BC — такая точка E, что DE = BE. Докажите, что AD + CE = DE.

Геометрия-канал

12 февраля 2017 11:23

Костя Кноп нашел источник книг Григория Филипповского по геометрии. Там не только геометрия, а еще и о слоненке есть: http://zadacha.uanet.biz/home/druzja-i-ikh-raboty/filippovskij-g/matematika

Геометрия-канал

10 февраля 2017 08:47

27. В некоторый момент угол между часовой и минутной стрелками равен α. Через час он опять равен α. Найдите все возможные значения α.

Геометрия-канал

09 февраля 2017 15:26

Решение «еженедельного гроба», задачи 20:
http://telegra.ph/Reshenie-Zadachi-20-02-09