10419
Немного математики каждый день // для обратной связи: cme.chnl@gmail.com (интересным вещам по теме канала всегда рады; за деньги или за «обмен ссылками» ничего не публикуем)
(фото из соцсетей IHES; если кто не узнает — Серр, Делинь, Громов)
Читать полностью…
поздравляем Пьера Делиня с 80-летием!
Читать полностью…
90 лет сборнику «Математическое просвещение».
Первый выпуск первой серии был подписан к печати 29 сентября 1934 года. 13 выпусков первой серии выходили с 1934 по 1938 годы под редакцией Ростислава Николаевича Бончковского и Иоасафа Ивановича Чистякова.
Шесть выпусков второй серии — с 1957 по 1961 год — под редакцией Якова Семёновича Дубнова, Алексея Андреевича Ляпунова, Алексея Ивановича Маркушевича.
Московский центр непрерывного математического образования начал выпускать третью серию в 1997 году. Первым главным редактором выпусков третьей серии был Владимир Михайлович Тихомиров, а основным «мотором» многие годы был Михаил Николаевич Вялый.
Полистав выпущенные сборники, читатель найдёт массу интересных материалов (на основном сайте или в более качественной обработке первой и второй серий на сайте https://www.mathedu.ru/catalogue/collections/groups/#mp ). А некоторые математики гордятся, что являются авторами этого культового издания.
/channel/EtudesRu/759
«One can say that algebra and geometry are related by something like the Heisenberg Uncertainty Principle: a perfect algebraic formalization of a mathematical theory often obscures its geometric features, while a clear geometric idea can be devilishly difficult to put into words and turn into a formal algebraic proof. Algebra and geometry complement each other but do not mix well. The pair has been famously compared to an angel and a devil, although which is which is perhaps debatable.
Linguistically, geometry is about earth — not too angelic, mind you, although not necessarily chthonic, either. Philosophically, the basic underlying notion of geometry is that of a “space”. This has been around for millenia, since the ancient Greeks at least, and it can be made precise in different ways, none of them encompassing the whole thing. In full generality, all one can venture to say is that a space has points, and there is also some notion of “closedness” and/or “continuity” associated to this collection of points. The latter idea is again very old and ingrained – to the point that when Cantor was creating modern set theory, he really had to struggle to convince people that it makes sense to consider a set as simply a set, with no continuity in any form anywhere in the picture.
Algebra is much more recent. The word itself is medieval, but it used to mean something tautological; it is probably safe to say that algebra with actual mathematical content starts with Galois theory. This brings in another fundamental and ancient idea that, however, was never formalised before Galois — the idea of “symmetry”, with the corresponding formal notions of a group and a group action.
The spirit here is decidedly modern; as befits something born in the industrial era, algebra is instrumental rather than meditative. One can say that if at the end of the day, geometry is about pictures, then algebra is about operations: you do not just observe things but act on them. Geometrically, if you want to connect two points, you imagine a curve passing through them, while algebraically, you construct an operator sending one to the other.»
«The origin of homotopy theory is of course geometric — it first appeared as “algebraic topology”, the study of topological spaces and continuous maps between them considered “up to homotopy”. (…) Topology becomes “algebraic” once you observe that up to homotopy, paths can be inverted, and based loops form a group — the fundamental group.
Algebraically, the same fundamental group emerges through the notion of a covering, in a well-known beautiful parallel with Galois theory.
(…)
However, what the Galois description strongly suggests is that homotopy theory is something much more general and widespread than mere algebraic topology. Indeed, many mathematical objects — starting with sets themselves, actually — do not naturally form a set, nor a “space”, whatever that is. The problem is not only the size of things. (…) The natural notion is “isomorphic”, not equal, and an isomorphism is an additional structure that one needs to preserve. We have moved beyond Cantor.
(…) What one needs (…) is some kind of “enhanced Galois theory” that would also include all the higher homotopy groups (in particular, all the homotopy groups of spheres). However, even if one ignores topological realities and looks for a purely formal algebraic theory, it has purely formal problems that also suggest a need for some sort of enhancement.»
https://arxiv.org/abs/2409.17489
D.Kaledin. Enhancement for categories and homotopical algebra (Introduction)
На Южном математическом турнире (пользуясь случаем, поздравляю с победой команду солнечного Саранска) выдали следующую лемму. Выходит, не все её знают, так что напомню свой старый пост в книге лиц, в котором из неё выводится Рождественская теорема Ферма.
Лемма (обратное неравенство Коши-Буняковского-Шварца, шорт-лист IMO 1995 A2). Если a,b,c — неотрицательные целые числа и ab-c² неотрицательно, то существуют два вектора x,y с целыми координатами (одной и той же, может быть большой, размерности) такие, что a,b — квадраты их норм, а c — их скалярное произведение. Иначе говоря: если квадратный трёхчлен f(t)=at²+2ct+b неотрицателен на вещественной оси, то его можно представить как сумму квадратов линейных [аффинных, если вам так нравится - ФП] функций с целыми коэффициентами:
f(t) =sum (x_i t+y_i)²
Доказательство леммы. Предположим противное и возьмём контрпример с минимальным c. Если min(a,b,c)=c, то
f(t)=c(t+1)²+(a-c)t²+(b-c) 1² —
искомое представление. Если, скажем, c>a, то возьмем трёхчлен f(t-1), то есть тройку (a, b-2c+a, c-a), по минимальности c она уже не является контрпримером, а из представления в нужном виде трёхчлена f(t-1) получается представление f(t) сдвигом буквы t на 1.
Теперь
Рождественская теорема Ферма. Если p=4k+1 простое, то p есть сумма двух квадратов целых чисел.
Доказательство. При некоторм целом c число p делит c²+1 (простое доказательство: иначе остатки от 2 до 4k-1 по модулю p разбиваются на четвёрки вида (y, - y, 1/y,-1/y)):
ap=c²+1.
Используя лемму, находим векторы x,y с x²=a, y²=p, c=xy=sum(x_i y_i). Возьмем любой индекс i, для которого y_i≠0. Обозначим x_i=X, y_i=Y. Имеем
1-(pX²+aY²-2cXY)=(a-X²)(p-Y²)-(c-XY)²⩾0
(это КБШ для векторов x, y без i-ой координаты).
Умножая на p и подставляя ap=c²+1 в левую часть, получаем
p-(pX-cY)²-Y²⩾0, но левая часть кратна p (и меньше p, так как Y≠0), поэтому она равна 0.
https://mccme.ru/ru/math-circles/circles-mccme/20242025/
в МЦНМО продолжают работу мат. кружки
в т.ч. кружок 8 класса по субботам (начиная с ближайшей, 28.09), кружки 6 и 7 класса по пятницам (с 04.10), кружки 4 и 5 класса по четвергам (с 03.10), геометрия для старшеклассников по средам (с 02.10), а также КЭМ по четвергам (уже начался)
как обычно: приглашаются все желающие, бесплатно, без экзаменов или регистрации
кружки в этом году очные
( Re: /channel/cme_channel/3926 )
а) Начнем с тысячи самых простых способов набрать 2024 тугрика: 2024, 2023+1, 2022+2, …, 1025+999. Если буквально взять все встречающиеся в этих способах числа как номиналы, то будет и еще множество “лишних” представлений (вместо 2021+3 можно взять 2021+2+1 и т.п.)…
Задумаемся: что нам реально было нужно? На самом деле, нам нужно было не класть монеты от 1 до 999, а класть такие монеты, чтобы номиналы от 1 до 999 представлялись единственным способом.
Теперь реализацию идеи нетрудно доработать: положим в кошелек два вида монет: “легкие” номиналом 1, 2, 4, …, 512 и “тяжелые” номиналом 2024, 2023, …, 1025.
Действительно, теперь каждую тяжелую монету можно дополнить до 2024 ровно одним набором легких монет (возможно, пустым). Ну и ясно, что других способов нет (совсем без тяжелых монет набрать легкими достаточную сумму не получится, а хотя бы две тяжелые монеты сразу дают слишком большую сумму). Победа.
// продолжение завтра
A history of duality in algebraic topology (Becker, Gottlieb)
https://www.math.purdue.edu/~gottlieb/Bibliography/53.pdf
Пишут: в начале 70-х в воздухе витала идея трансфера для накрытий. (См. интересный обзор в параграфе 4.1 книги Адамса "Бесконечнократные пространства петель"). Для разных теорий когомологий были построены разные конструкции трансферов. Их можно было бы объединить, если построить трансфер как S-отображение (=стабильное отображение пространств). Разные конструкции S-отображений предлагали D.Kan, J.Becker, F.W.Roush (1971). Ни одна из них не была опубликована, потому что первооткрыватели не сочли их важными.
Дж.Ф.Адамс пишет в своей книге (с.99-100 русского перевода):
"Внимание топологов к трансферу привлекла хорошо известная работа Кана и Придди (1972). Они писали: "...существование трансфера кажется хорошо известным фактом, но нам неизвестна ни одна публикация на этот счет". Так топологический мир узнал, что все хорошо информированные специалисты должны были бы знать о трансфере, хотя в действительности о нем знали лишь те, кому очень повезло."
(Беккер и Готтлиб потом обобщили эту историю, и ввели трансфер уже в расслоениях...)
https://mipt.ru/news/mikhail-tsfasman-o-vysshey-shkole-sovremennoy-matematiki-
М.А.Цфасман рассказывает про ВШМ МФТИ (первый набор студентов планируется на 2025/26 уч. год — и совместно с НМУ)
#начинающим
На рисунке изображен паркет из равных прямоугольных треугольников. Произвольные прямоугольные треугольники для такой схемы не подойдут.
Найдите соотношение сторон в этих треугольниках.
Рисунок и задача из журнала «Квантик» №7, 2017, статья Сергея Маркелова «Жесткие паркеты»
https://arxiv.org/abs/2409.09232
«This short book is an elementary course on entropy, leading up to a calculation of the entropy of hydrogen gas at standard temperature and pressure. Topics covered include information, Shannon entropy and Gibbs entropy, the principle of maximum entropy, the Boltzmann distribution, temperature and coolness, the relation between entropy, expected energy and temperature, the equipartition theorem, the partition function, the relation between expected energy, free energy and entropy, the entropy of a classical harmonic oscillator, the entropy of a classical particle in a box, and the entropy of a classical ideal gas.»
«Once there was a thing called Twitter, where people exchanged short messages called ‘tweets’. While it had its flaws, I came to like it and eventually decided to teach a short course on entropy in the form of tweets. This little book is a slightly expanded version of that course. (…) Since I am a mathematical physicist, this book is full of math. I spend more time trying to make concepts precise and looking into strange counterexamples than an actual ‘working’ physicist would. If at any point you feel I am sinking into too many technicalities, don’t be shy about jumping to the next tweet. The really important stuff is in the boxes. It may help to reach the end before going back and learning all the details. It’s up to you»
геометрические детали обсуждаемого выше портрета Луки Пачоли
Читать полностью…
Дорогие друзья!
Малый мехмат МГУ приглашает школьников 5-8 классов на
занятия математических кружков, которые проходят по субботам с 16:45 в аудиториях Московского университета.
Вступительное испытание в формате Олимпиады состоится в воскресенье 22 сентября 2024 года. Подробная информация о наборе и ссылка на регистрацию размещены на сайте Малого мехмата.
напомним заодно про воспоминания А.Г.Кушниренко о Ник.Ник.Константинове — /channel/cme_channel/2397
Читать полностью…
короткое доказательство иррациональности пи (I.Niven по мотивам классического доказательства Эрмита)
Читать полностью…
напомним еще про https://www.simonsfoundation.org/2012/06/19/pierre-deligne/
Читать полностью…
https://youtu.be/0AC-Ol1z5vI
продолжение рассказов Френкеля по направлению к геометрическому Ленглендсу
выше цитаты только из начала предисловия, вещи ближе к содержанию обсуждаются напр. в /channel/sweet_homotopy/2029 и вокруг
Читать полностью…
https://differentialgeometri.wordpress.com/2024/09/30/richard-hamilton-1943-2024/
Читать полностью…
https://erich-friedman.github.io/mathmagic/1002.html
картинки по выходным: irreptiles — фигуры, которые можно разбить на подобные им
по ссылке много картинок (и вопросов без ответов)
б) Тут, на первый взгляд, предыдущая идея уже не работает… Но подумаем, так ли нам было важно брать именно степени двойки в качестве легких монет?
Какие бы N легких монет мы ни взяли, разные наборы легких монет дают 2^N разложений, которые можно дополнять до 2024 тугриков тяжелыми монетами. Правда, нам нужно получить не 2^N способа, а 2024=2¹¹-24… То есть хорошо бы теперь недоложить сколько-то тяжелых монет, чтобы выкинуть ровно 24 способа. Для этого можно сделать, например, чтобы какие-то 24 числа представлялись в виде суммы легких монет единственным образом — как добиться этого, мы уже знаем, помогают степени двойки.
Итак, положим в кошелек 11 “легких” монет номиналами 1, 2, 4, 8, 16 и 25, 26, 27, 28, 29, 30, а также “тяжелые” монеты номиналами 2000, 1999, … , (2024-сумма всех легких). Комбинаций легких монет, которые можно дополнить до 2024, будет как раз 2¹¹-24= 2024.
https://ium.mccme.ru/globus.html
в четверг 26 сентября на семинаре «Глобус» Владлен Тиморин будет рассказывать про полиномиально-подобную ренормализацию
«С одной стороны, даже самые примитивные (с точки зрения алгебры) нелинейные многочлены, такие, как f(z)=z²+c, демонстрируют бесконечно тонкие и интересные явления при итерациях. Но, с другой стороны, обнаруженные в простейших нелинейных системах паттерны повторяются во многих других, более сложных системах (универсальность).
Примеры: универсальность Фейгенбаума, возникающая в каскадах удвоения периода; появление множества Мандельброта в плоскостях параметров общего вида аналитических систем, аналитически зависящих от параметра (в том числе, уменьшенные копии множества Мандельброта в самом множестве Мандельброта).
Объяснение этим явлениям содержится в концепции ренормализации. Комплексно-аналитический подход к ренормализации, предложенный Дуади и Хаббардом 1985, опирается на понятие полиномиально-подобного отображения. Мы обсудим это понятие — одно из центральных в комплексной динамике — и некоторые его приложения, в том числе относительно недавние.»
В кошельке несколько монет, все разных целых номиналов. Может ли оказаться, что набрать ими 2024 тугрика можно а) ровно 1000 способов; б) ровно 2024 способами?
// примерно такое предлагалось на вчерашнем конкурсе учителей; все задачи: https://mccme.ru/oluch/zadachi2024.pdf
https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2020-12.20-22.pdf
продолжаем тему паркетов и геометрии: попробуйте глядя на эти картинки доказать теорему Наполеона и теорему Тебо
или/и почитайте заметку «Теорема Наполеона, замощения плоскости и параллельники» (Г.Мерзон, «Квантик» №12 за 2020 год)
https://arxiv.org/abs/1707.09368
G. Lusztig. Comments on my papers
https://arxiv.org/abs/2403.20140
у доказательства Нивена иррациональности пи есть контекст, связанный с ортогональными многочленами, приближением цепными дробями и проч.
частично этот контекст восстанавливает вот такая заметка
(ну и заодно доказывается иррациональность e^r)
Кто такой Лука Пачоли? Изобретатель бухгалтерского учета, Данте от математики, учитель и друг Леонардо да Винчи. Кстати, считается, что Леонардо приложил руку к созданию данного портрета, но этот факт можно опровергнуть, если всмотреться в отражения подвешенного многогранника. Что же там?
Рассказывает искусствовед Анна Броновицкая в новом выпуске подкаста «Как живые».
Портрет Луки Пачоли и неизвестного юноши. Около 1495—1500 годов
© Museo di Capodimonte / Wikimedia Commons
https://basis-foundation.ru/
https://ium.mccme.ru/rym/
до 15 октября принимаются заявки на конкурс «Молодая математика России»
https://youtu.be/FofepM-SKbo
https://vk.com/video-200018804_456239119
свежее интервью А.Г.Кушниренко
Как ещё увидеть, что проекция тетраэдра Серпинского вдоль линии, соединяющей середины противоположных рёбер, это квадрат?
Очень просто: нужно взять тетраэдр Серпинского, ясную, солнечную погоду и выйти на улицу.