10419
Немного математики каждый день // для обратной связи: cme.chnl@gmail.com (интересным вещам по теме канала всегда рады; за деньги или за «обмен ссылками» ничего не публикуем)
https://geometry.ru/ilya.html
в среду (28.08) в МЦНМО будет семинар учителей математики памяти Ильи Сиротовского (09.05.1983–24.06.2023)
14:00 Лариса Якубович. Real-life математика на уроках
14:50 Дмитрий Швецов. Геометрия и клетки
15:40 Юрий Блинков. Ортоцентр и угол 60 градусов
19 августа 1960 года Эшер прочитал лекцию на «Пятом конгрессе и Генеральной ассамблее Международного союза кристаллографов». На этот конгресс его пригласила профессор Каролина Х. Макгиллаври, профессор химической кристаллографии в Амстердамском университете. В 1950 году она была назначена первой женщиной-членом Королевской академии искусств и наук Нидерландов. Макгиллаври была большой поклонницей Эшера и в 1965 году опубликовала книгу «Аспекты симметрии периодических рисунков М. К. Эшера». Для кристаллографов мозаики, над которыми Эшер работал годами в своих альбомах, были идеальными учебными материалами. Его узоры очень хорошо подходят для изучения симметрии, повторения и отражения, которые так характерны для этой области. Это один из рисунков из альбомов Эшера, который был выставлен в Кембридже и включен в книгу Макгиллаври.
Больше о конгрессе и первой встрече Эшера с Каролиной Макгиллаври тут https://buff.ly/2ODZ3Lq
https://www.emis.de/journals/SLC/wpapers/s44cartier1.pdf
Pierre Cartier. Mathemagics
Продолжаем обсуждать геометрию многообразия PGr(1,3) прямых в трехмерном проективном пространстве.
Какие у него есть естественные подмногообразия? Два очевидных вида: a) все прямые, проходящие через данную точку; b) все прямые, лежащие в данной плоскости.
// И то, и другое, кстати — буквально плоскости при обсуждавшейся в прошлый раз — /channel/cme_channel/3862 — реализации PGr(1,3) в виде квадрики в P⁵. Ситуация немного похожа на два семейства прямых на гиперболическом параболоиде, но…
Два разных подмногообразия первого вида пересекаются по одной точке (“через две точки в P³ проходит ровно одна прямая”), аналогично — а лучше сказать, двойственно — для многообразий второго вида (“две плоскости в P³ пересекаются по одной прямой”). Это будем записывать как [a][a]=[pt], [b][b]=[pt]. Наконец, [a][b]=0 (в ситуации общего положения отмеченная точка не лежит в отмеченной плоскости, так что обоим условиям сразу удовлетворить не получится).
Можно говорить, что [a] и [b] — классы в некотором пространстве когомологий¹. И если знать, что в данной размерности это пространство двумерно, то мы показали, что [a] и [b] — ортонормальный (относительно формы пересечения) базис.
¹ Можно считать, что это симплиациальные (ко)гомологии, или когомологии де Рама, или кольцо Чжоу… — не важно, важно только что в когомологиях гладкого многообразия есть классы подмногообразий, которые не меняются при деформации этих подмногообразий, и определено умножение, соответствующее в трансверсальном случае просто пересечению подмногообразий.
Пусть теперь [x] — класс всех прямых, проходящих через данную прямую. Класс [x]² имеет ту же размерность, что и [a] и [b] — как он через них выражается? Как водится, можно воспользоваться скалярным произведением: [x]²[b] считает количество прямых, лежащих в плоскости и пересекающихся с двумя какими-то прямыми… ясно, что в общем случае такая прямая ровно одна (проходящая через точки пересечения выделенных прямых с плоскостью). Значит, [x]²=[a]+[b] (в силу двойственности коэффициенты при [a] и [b] равны).
В качестве бесплатного следствия получаем, что [x]⁴=2[pt]. То есть что есть четверку прямых общего положения пересекают ровно 2 прямые.
(Конечно, буквально последнее утверждение можно доказать без всяких когомологий. Но с более сложными задачами исчислительной геометрии — напр., /channel/cme_channel/2751 — это уже вряд ли получится…)
на странице https://new.mipt.ru/sveden/struct появилось новое подразделение (факультет) МФТИ — Высшая школа современной математики (директор — А.Н.Соболевский)
Читать полностью…
картинка по выходным: доказательство без слов теоремы Птолемея
Читать полностью…
а) Доказать, что для любых 4 векторов на плоскости выполняется соотношение типа Птолемея/Плюккера:
s(12)s(34)-s(13)s(24)+s(14)s(23)=0,
где s(ij) — ориентированная площадь натянутого на вектора i и j треугольника.
б) Вывести отсюда утверждение /channel/geometrykanal/2499 про площадь пятиугольника.
https://ium.mccme.ru/library/
(Some) MCCME books translated into English
https://abel.math.harvard.edu/~elkies/Misc/dissect.png
в качестве картинок по выходным — вот такое доказательство теоремы косинусов // Math. Gaz., 12 (1924-1925)
если уж речь зашла про когомологии (групп), то напомним и про текст
A Cohomological Viewpoint on Elementary School Arithmetic (Daniel C. Isaksen)
https://www.ias.ac.in/article/fulltext/reso/010/09/0037-0052
про когомологии групп и их историю (R.Sridharan)
Про геометрию вокруг законов Кеплера следует читать и пересказывать статью Гивенталя -- Kepler’s laws and conic sections (вышла в 2015 году в Арнольдовском математическом журнале).
Это вот про что: по ньютоновскому закону обратных квадратов точки двигаются по коническим сечениям. Это многие знают, некоторые даже могут доказать. Но как увидеть конус и сечение его плоскостью, связанный с орбитой? Обычно выводится уравнение конического сечения в полярных координатах (его уже не все помнят). Вот Гивенталь нашел этот конус и объяснил связь с геометрией конических сечений.
Сегодня, еще не зная про эту статью Гивенталя, проснулся с идеей: кто-то должен написать про это листочек для школьников. Обнаружив статью и предшествующее ей изложение результатов Гивенталя в обзоре Арнольда, Козлова и Нейштадта "Математические аспекты классической и небесной механики" понял: это в общем сделано!
а начинается статья, из которой взята предыдущая картинка, примерно так
Читать полностью…
https://www.youtube.com/watch?v=UdV6S7PjmVs
Читать полностью…
Сегодня еду жюрить на олимпиаду им. И. Ф. Шарыгина (https://geometry.ru/olimp/2024.php) Вот одна из его задач, предложенная на международной олимпиаде по математике в Лондоне в 1979 году.
Две окружности пересекаются в двух точках. Два велосипедиста стартуют одновременно из одной из их общих точек и едут по этим окружностям (каждый по своей) в одинаковом направлении (по часовой или против часовой
стрелки) с одинаковыми угловыми скоростями. Докажите, что на плоскости существует фиксированная точка, в любой момент времени равноудаленная от велосипедистов.
http://www.moebiuscontest.ru/
есть еще ровно месяц (до 20 сентября), чтобы подать работу на конкурс Мёбиуса для студентов и аспирантов
конкурс проходит с 1997 года, среди его победителей А.Кузнецов, В.Тиморин, А.Гайфуллин, Ф.Петров, А.Ефимов, А.Калмынин и др.
https://youtu.be/-Rlt-3PiiLk
напомним еще интервью Картье 2014 года (описание ролика на немецком, говорят по-французски — но включены английские субтитры)
про группу Бурбаки и вокруг в основном
Пьер Картье (10.06.1932–17.08.2024)
Читать полностью…
IV Конференция математических центров России, посвященная 300-летию Санкт-Петербургского государственного университета и Российской академии наук, собрала более 500 участников со всей страны.
Делимся с вами материалами выступлений.
В конференции приняли участие учёные и студенты из 16 математических центров: четырёх мирового уровня и 12 региональных.
На данный момент мы имеем развитую сеть математических центров, взаимодействующих друг с другом и с научно-образовательными учреждениями. Они сделали значительный вклад в развитие математической науки и образования, что подтверждается огромным количеством результатов, которые были представлены на конференции
Письмо коллегам от Михаила Анатольевича Цфасмана, заведовавшего в ИППИ сектором
№4.1, переросшим впоследствии в Лабораторию №13 алгебры и теории чисел. Публикуется с разрешения автора:
Дорогие коллеги!Читать полностью…
Когда 35 лет назад я пришел в ИППИ, я был поражен доброжелательностью отношений в Институте, как среди сотрудников, так и между сотрудниками и руководством. Было понятно, что люди собрались для того, чтобы заниматься наукой и помогать ученым ею заниматься. Директора менялись, но эта прекрасная атмосфера сохранялась в Институте до августа прошлого года.
Последний год было тяжело, но во всем, что я делал, я чувствовал гигантскую поддержку большинства сотрудников ИППИ.
Огромное вам спасибо!
В конце июня В.Б. Шехтман и я были уволены за прогулы и, хотя суды по этому поводу еще не завершились, сегодня я устроился на работу в свежесозданную ВШМ - Высшую школу современной математики МФТИ, куда вместе со мной переходит еще около 30 сотрудников ИППИ, в том числе двадцать докторов наук. К сожалению, еще более двадцати наших уволившихся за последний год сотрудников ушли в другие места или остались за границей.
Мы приложим все усилия, чтобы ВШМ унаследовала от нашего любимого ИППИ его атмосферу и традиции.
Я не прощаюсь, поскольку остаюсь избранным (увы, теперь внешним) членом Ученого совета ИППИ.
Ваш М.А. Цфасман
https://arstechnica.com/science/2023/04/hundreds-of-years-after-the-first-try-we-can-finally-read-a-ptolemy-text/
https://link.springer.com/article/10.1007/s00407-022-00302-w
(по ассоциации с именем Птолемея — такая недавняя история вспомнилась)
Пространство проходящих через ноль прямых в n-мерном пространстве V — это просто проективное пространство P(V). А как описать пространство проходящих через ноль плоскостей в n-мерном пространстве?
Выберем в плоскости базис (u,v) и сопоставим нашей плоскости элемент w=u∧v. При замене базиса такой элемент домножится на ненулевую константу (определитель матрицы замены). То есть мы получили отображение из пространства плоскостей Gr(2,V) в проективное пространство P(Λ²V) («вложение Плюккера»). Ясно, что так мы можем получить не все элементы Λ²V: если w=u∧v, то w∧w=0. На самом деле, Gr(2,V) как раз задается внутри P(Λ²V) уравнением w∧w=0.
Более приземленно: запишем координаты двух векторов, порождающих плоскость, в виде матрицы 2×n; тогда плоскости сопоставляются миноры 2×2 этой матрицы — и эти миноры удовлетворяют некоторым квадратичным соотношениям.
Например, пространство Gr(2,4) двумерных подпространств в 4-мерном пространстве (оно же — пространство PGr(1,3) прямых в P^3) задается в 5-мерном проективном пространстве уравнением p12p34-p13p24+p14p23=0 («квадрика Клейна»).
(А если и это кажется слишком абстрактно-отвлеченным — в соседнем посте, например, применение соотношений Плюккера к площадям на плоскости.)
https://oralhistory.ru/talks/orh-953
«…И вот в этой связи чуть-чуть вбок и совсем не по специальности — о математиках. Каждый факультет своеобразен, очень своеобразен, но механико-математический факультет университета — это было одно из самых своеобразных учреждений университета…»
Семинар КТ возвращается. Александр КАЛМЫНИН. Воскресенье, 11 августа
✅ Последовательности в коротких интервалах
Многим известна такая элементарная задача: доказать, что для любого N можно найти N подряд идущих составных чисел. В аналитической теории чисел у неё есть продолжение, которое состоит в том, чтобы оценить снизу наибольший промежуток между простыми числами, не превосходящими данной величины X.
Можно задаваться и обратным вопросом, то есть доказывать, что отрезок [0,X] не может содержать слишком длинных отрезков, в которых нет простых чисел. Аналогичные вопросы можно задавать и про разные другие последовательности из теории чисел: бесквадратные числа, суммы двух квадратов, нормы элементов числовых полей и т.д.
Я расскажу об этих и некоторых других задачах такого вида, что про них известно и что предполагается. Особое внимание постараюсь уделить значениям квадратичных форм от двух переменных.
Лекция доступна слушателям начиная со старших классов матшкол. Из требований для понимания: не смущаться, когда на экране появится выражение вроде loglogloglog X/logloglog X:) Все нужные теоремы из теории чисел я сформулирую.
Напомним тж /channel/cme_channel/2584
Читать полностью…
Очень классная статья — A. Givental, Kepler’s Laws and Conic Sections, Arnold Math. J., 2016 (pre-print version: https://math.berkeley.edu/~giventh/kepler_091615.pdf , ref.: https://link.springer.com/article/10.1007/s40598-015-0030-6 ).
Вот главная картинка оттуда:
https://www.turgor.ru/lktg/2024/
началась 36-я Летняя конференция Турнира городов, публикуются ее проекты:
1. Точка Шиффлера
2. Уклонения многочленов и критические значения
3. Инварианты почти вложений графов в плоскость
4. Дистанционные графы и теорема Турана
5. Трисекция угла и другие классические задачи
6. Квадратура круга
картинка по выходным: появляющийся на ассоциаэдре трилистник
бонусный вопрос: что получится, если применить ту же процедуру к обычному кубу?
Статья В.Ю. Протасова про лемму о велосипедистах
Читать полностью…
https://math.mit.edu/~rstan/papers/hip.pdf
пусть здесь будет статья Стэнли «Hipparchus, Plutarch, Schröder and Hough» — про то, что за число 103049 вычислил Гиппарх (по свидетельству Плутарха) и дальнейшее развитие этой истории
