10419
Немного математики каждый день // для обратной связи: cme.chnl@gmail.com (интересным вещам по теме канала всегда рады; за деньги или за «обмен ссылками» ничего не публикуем)
https://www.geogebra.org/m/jeubgcjm
на этих выходных не было картинок — исправляемся: вот в геогебре генерируются разнообразные разноцветные деревья
// via https://twitter.com/MrValencia24/status/1782525360053121247
http://kvant.mccme.ru/1987/12/vtoroj_zakon_keplera_i_topolog.htm
в качестве вольного продолжения темы движения планет — статья «Второй закон Кеплера и топология абелевых интегралов» В.И.Арнольда в Кванте
«Перелистывая Principia («Математические начала натуральной философии») Ньютона в связи с исполняющимся в этом году трехсотлетием этой великой книги, заложившей основы теоретической и математической физики, я наткнулся на две чисто математические страницы, содержащие удивительно современное топологическое доказательство замечательной теоремы о трансцендентности абелевых интегралов…»
https://www.youtube.com/live/BAgxoiw4cKY
сегодня (26.07) в 15:30 А.В.Гасников на ЛШСМ рассказывает про мат. аспекты современной распределенной оптимизации
https://www.youtube.com/live/Q2OUXO4e-BE
в субботу (27.07) в 17:15 будет введение в алгебраическую геометрию от Д.О.Орлова
https://www.math.columbia.edu/~okounkov/AMScolloq.pdf
хочется напонить еще текст «Limit shapes, real and imaginary» Андрея Окунькова
«We are surrounded by random surfaces. In fact, every shape around us is random on a sufficiently small scale. The definite shapes that we perceive are manifestations of the law of large numbers that makes averages much larger than the fluctuations around them. Same law is at work e.g. with a balloon floating through the air. Our eyes trace out a smooth trajectory while air molecules hit the balloon randomly from all directions.
Can mathematical physics link the microscopic dynamics to the resulting macroscopic shape, say, for objects of inorganic natural origin? The endless variety of snowflake shapes produced by commonplace water under ordinary conditions illustrates how challenging this question is.
Yet, at or near equilibrium a successful theory explaining the macroscopic shape from the microscopic laws may be developed. It requires deep and powerful mathematics that we can only begin to explore it the course of 3 lectures. In turn, it impacts areas of mathematics that may seem very distant from equilibrium crystals or liquid droplets.
Mathematics and physics are full of random geometric objects, especially when surveyed with a trained eye. In dealing with them, the experience and intuition acquired in the study of equilibrium crystals can be very valuable.
***
The main goal of this lecture is to provide an accessible introduction to an area of mathematical physics that I, personally, find captivating. (…)»
https://www.youtube.com/live/fctLDA1Vnp8
24 июля на ЛШСМ в 11:15 Н.Ю.Решетихин будет рассказывать про димерные модели в статистической механике (или, говоря по-простому, про разбиения на доминошки)
https://www.youtube.com/live/UZ-imCoLcU0
25 июля в 15:30 — А.П.Веселов про алгебру многогранников и обращение рядов
https://youtu.be/r257kL7UTsc
к юбилею М.А.Цфасмана пусть здесь будет запись его недавней лекции на ЛШСМ-2021 «Алгебраические числа, алгебраические кривые и плотные упаковки шаров»
задача-разминка с лекции: есть подмножество вещественной прямой — какое максимальное количество различных множеств можно получить из него при помощи операций дополнения и замыкания?
(если не знаете эту задачу, то ответ, вероятно, удивит)
https://www.youtube.com/live/NsaSxfv1emg
начинается лекция Дмитря Запорожца про геометрию цепных дробей — присоединяйтесь
а в 17:15 Федор Петров будет рассказывать про формулу Рамануджана с рядом и цепной дробью, https://www.youtube.com/live/a6waglwx9QE
https://youtu.be/qRTOb95esAE
интервью Сергея Михайловича Львовского
https://www.imo2024.uk/s/IMO-2024-Paper-1-Solutions.pdf
решения IMO-2024
https://youtu.be/Dk0dB4HYnu0
небольшое видео про мыльные пузыри и всё такое
https://youtu.be/hFMhlsvVjYg
Interview with Rahul Pandharipande
Что делать, если хочется различать узлы? Одна естественная идея — попробовать посчитать фундаментальную группу дополнения.
Получить ее задание образующими и соотношениями не очень сложно — но не очень понятно, что делать дальше (сравнение групп, заданных образующими и соотношениями — вообще говоря алгоритмически неразрешимая задача!).
Вот, например, для трилистника получается группа <a,b|a²=b³> и… что?
Чтобы упростить себе жизнь, можно попробовать перейти от группы к ее абелинизации (дополнительно сказать, что все образующие коммутируют). Но тут ждет сюрприз — какой бы узел мы ни взяли, всегда получается тот же ответ, что для тривиального, Z. Это как раз проявление упоминавшейся двойственности Александера.
Для трилистника вместо гомоморфизма в абелевы группы нетрудно построить сюръективный гомоморфизм в группу S_3 и так доказать его нетривиальность. И это, на самом деле, то же доказательство, что и с подсчетом правильных раскрасок (диаграммы) узла в три цвета — см., например, /channel/cme_channel/1919
с 1964 года существует Lester R. Ford Award для лучших популярных статей в The American Mathematical Monthly
до недавнего времени все эти статьи были бесплатно доступны на сайте MAA, здесь неоднократно появлялись ссылки (от /channel/cme_channel/454 до /channel/cme_channel/3113 или /channel/cme_channel/3776 … и многие другие)
больше эти ссылки не работают
(если вдруг это не сознательное изменение политики и кто-то знает новые ссылки — не стесняйтесь написать на адрес в описании канала)
для привлечения внимания — табличка из статьи выше
Читать полностью…
Случайные метрические графы
Вот вам для затравки небольшой сюжет, про теорему Фриза https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0166218X85900587
Я хз, можно ли его вывести из асимптотической теории, про которую написано ниже, но не удивлюсь, если так это и делается. Я вообще не знаю особо результатов из тервера, которые бы не доказывлись применением преобразования Лапласа/Фурье.
Рассмотрим полный граф на n вершинах и независимо припишем его ребрам случайные длины - из равномерного распределения на [0,1]. Тогда при n-->∞ длина минимального остовного дерева (MST) такого графа равна константе Апери ζ(3) (дзета-функции от 3, сумма обратных кубов натуральных чисел). Ну, более строгая формулировка, что для любого ε>0 вероятность того, что длина MST не лежит в интервале [ζ(3)-ε, ζ(3)+ε] стремится к нулю.
И так-то, когда в первый раз видишь эту теорему, думаешь, WTF? Если длина ребра в среднем равна 1/2, то казалось бы остовное дерево должно иметь длину что-то вроде n/2, почему она вообще констнанта.
Но тут, конечно, можно разобраться. У нас порядка n^2/2 ребер, случайно натыканных из отрезка. Ясно, что для минимального дерева нужно брать те ребра, которые покороче, их нужно n-1 штук. Но n самых коротких ребер будут кучковаться где-то в отрезке [0,1/n), поэтому сумма их длин получается порядка константы.
Отсюда неудивителен общий факт, доказанный Фризом. Условие, что длины ребер взяты из равномерного распределения - вообще не важно. Важно, что распределение длин F(x) удовлетворяет условию F'(0+0)=1. В общем случае (если F(0+0)=0), то длина MST равна ζ(3)*F'(0+0).
Таким образом, для глобального свойства - длины MST - важно только свойство распределения длин вблизи нуля. Как ведут себя длинные ребра - не важно, потому что они в MST просто не попадут.
То, что в пределе получается именно такая константа - безумно красивый результат, кмк. Довольно легко, кстати, прогается. Приятное поле для экспериментов.
ЛШСМ приближается к концу… в воскресенье (28.07)
в 9:30 Ю.С.Ильяшенко рассказывает про вывод законов Кеплера — https://www.youtube.com/live/C8C4Uvazrgg
в 15:30 А.И.Бондал рассказывает про гипотезы на стыке алгебраической и дифференциальной геометрий — https://www.youtube.com/live/SdNE2wCOK0E
https://www.claymath.org/library/academy/LectureNotes05/Lodaypaper.pdf
Jean-louis Loday. The multiple facets of the associahedron
This is a survey of some of the nice properties of the associahedron (also called Stasheff polytope) from several points of views: topological, geometrical, combinatorial and algebraic.
// по ассоциации, если угодно, к приближающейся лекции А.П.Веселова https://www.youtube.com/live/UZ-imCoLcU0
Про разбиения на домино (в т.ч. случайные) можно для начала заглянуть в статью Кеньона и Окунькова в колокне «What is…» (и потом читать, например, Lectures on Dimers) или в статью В.Горина «Что можно сложить из кубиков?» в Кванте.
А про подсчет количества разбиений на домино полезно почитать статью М.Вялого в Мат. просвещении (и конкретно про ацтекский бриллиант объясняется, конечно, в одноименной брошюре Е.Смирнова, упоминавшейся здесь в начале года).
https://youtu.be/tInOfndgesE
…или вот более популярные рассказы Михаила Анатольевича
https://ium.mccme.ru/f24/f24.html
появляется информация про курсы НМУ в осеннем семестре, в т.ч.
для 1 курса
алгебра — К.В.Логинов
геометрия — В.О.Медведев
анализ — О.К.Шейнман
для 2 курса
анализ — С.М.Гусейн-Заде
топология — Т.Е.Панов
алгебра — А.И.Ильин
https://www.youtube.com/live/b6-K9D7FtSg
…а 22 июля в 9:30 — Л.Д.Беклемишев будет рассказывать про связи между логикой и топологией
https://im.icerm.brown.edu/portfolio/paper-flat-tori/
в качестве картинок по выходным — плоские торы из бумаги
см. также статью Залгаллера https://www.mathnet.ru/rus/znsl549
https://mccme.ru/dubna/2024/
приближается ЛШСМ-2024 (доступно расписание, анонсы курсов; планируются прямые трансляции большинства пленарных лекций)
утром в субботу всё начнется с лекции А.А.Разборова про арифметическую комбинаторику и лекции С.К.Смирнова про замощения
https://mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.6.pdf
в качестве продолжения сюжета — брошюра А.Б.Сосинского про мыльные плёнки и случайные блуждания
«I think for a student, especially a graduate student, it's important to head in some direction where there's chaos, where the definitions are not certain, the proofs have holes in them, it's maybe not even clear what the theorems are. (…) students are often more attracted to directions where there's kind of a more or less almost complete theory, where the statements are clean, the definitions are clean, and the proofs are very good. And that's partly because of the way that mathematics is taught. We teach perfect theories in our undergraduate classes. And the difficulty of that for being a student is - it's great, those subjects are great - but that usually means that the subject has already been studied and improved by a generation of mathematicians and it's very hard for a young person to make progress in those directions, because they're pretty well understood. It's much easier to make progress when nothing is understood. When I teach the undergraduate classes sometimes I feel a little bit guilty that I'm explaining such a perfect jewel. It usually takes a century to make such a perfect jewel.»
Читать полностью…
«Yggdrasil. The tree of Norse mythology whose branches lead to heaven. Realized as Alexander's horned sphere in this etching by Bill Meyers.»
( из книги «Knots and Links» Rolfsen'а; ранее на ту же тему: /channel/cme_channel/877 )
В решении задачи про Гаузеновку помогает соединить две точки путем и считать точки пересечения этого пути с замкнутой кривой (забором).
Аналогичным образом определяется коэффициент зацепления двух замкнутых контуров в пространстве: надо один из них затянуть пленкой и считать точки пересечения этой пленки со вторым замкнутым конутром.
Дальнейшее развитие этой идеи приводит к двойственности Александера, которая описывает не только число компонент связности, но все гомологии дополнения к данному пространству:
H̃_q(S^{n+1}–X) ≅ H̃^{n-q}(X).
Популярный ютуб-аниматор Алан Бекер снял сюжет о приключениях оранжевого человечка и золотого сечения в мире геометрии:
https://youtu.be/VEJWE6cpqw0
Wild Mathing записал к нему полное объяснение
Добавляя к Q корни из единицы (т.е. примерно косинусы и синусы рациональных кратных пи) можно получить разные абелевы расширения Q (для корня степени n группа Галуа изоморфна (Z/nZ)*).
С одной стороны, если про это подумать, то можно понять, какие правильные N-угольники можно построить циркулем и линейкой. С другой стороны, любое абелево расширение Q лежит внутри такого циклотомического.
Так вот, в https://arxiv.org/abs/1208.2653 обсуждается аналог этой картинки для Q(i). Окружность заменяется на лемнискату, обратные триг. функции — на эллиптические интегралы, и всё заверте…