10419
Немного математики каждый день // для обратной связи: cme.chnl@gmail.com (интересным вещам по теме канала всегда рады; за деньги или за «обмен ссылками» ничего не публикуем)
Формулы сокращенного умножения учат нас, что (x+1)³+(x-1)³=2x³+6x. Другими словами, 6x=(x+1)³-2x³+(x-1)³, то есть многочлен x представляется в виде суммы кубов трех многочленов с вещественными коэффициентами. Ну значит, в виде суммы трех кубов представляется вообще любой многочлен (подставим его вместо x)!
Забавно, что степень правой части на первый взгляд втрое больше чем степень левой — но все лишние члены волшебным образом сокращаются.
Бонусная задача: доказать, что для многочленов с целыми коэффициентами трех кубов уже не хватит.
Достаточно ли трех кубов для многочленов с рациональными коэффициентами — открытая проблема (контрольный вопрос: почему четырех кубов уж всяко хватит?).
Еще задача с сегодняшнего Турнира городов: можно ли представить многочлен x(x-1)…(x-n) в виде суммы двух кубов (многочленов с вещественными коэффициентами)?
Бонусный вопрос: а в виде суммы трех кубов можно?
в качестве картинок по выходным — аллегория геометрии (с идущей в Эрмитаже выставки «Мастера старонидерландской гравюры»)
Читать полностью…
Еще один классный доклад с конференции. Как, используя разрезания двумерных поверхностей на четырехугольники, доказывать теоремы из проективной геометрии типа Паппа и Дезарга. И находить новые!
https://www.youtube.com/watch?v=kU5PazTfImo
https://youtu.be/2B3UQr8acbQ
видеозапись рассказа Наташи Стрелковой про шевеление геометрии
https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/confer/qs.pdf
We survey the genesis and development of higher algebraic K-theory by Daniel Quillen
https://cs.hse.ru/seminatfkn/
в пятницу 29.03 на мат. семинаре ФКН В.Кириченко будет рассказывать про последовательности квадратичных вычетов и невычетов
https://www.mimuw.edu.pl/~jarekw/SZKOLA/toric/LaticePolyAndNumb12.pdf
Bjorn Poonen and Fernando Rodriguez-Villegas. Lattice Polygons and the Number 12
«In this article, we discuss a theorem about polygons in the plane, which involves in an intriguing manner the number 12. The statement of the theorem is completely elementary, but its proofs display a surprisingly rich variety of methods, and at least some of them suggest connections between branches of mathematics that on the surface appear to have little to do with one another.»
https://biblio.mccme.ru/node/235327
вышел сборник «И.М.Гельфанд. К 110-летию»
многие воспоминания публикуются впервые
#математика
В ролике «Как вавилоняне извлекали квадратные корни» мы рассказываем о том, как древневавилонские математики извлекали квадратные корни, а делали они это с удивительной точностью и происходило это почти 4000 лет назад во времена царя Хаммурапи.
Для этого они использовали геометрические соображения и находили сторону квадрата заданной площади, рассуждая приблизительно следующим образом…
Пусть нам нужно найти сторону квадрата, площадь которого равна 2. В качестве нулевого приближения к такому квадрату выберем прямоугольник со сторонами 2 и 1.
Для построения следующего приближения возьмем прямоугольник, одна сторона которого равна среднему арифметическому сторон прямоугольника из предыдущего приближения, то есть 3/2. Чтобы площадь такого прямоугольника оставалась равной 2, его вторая сторона должна быть равной 4/3. Так мы получим второй прямоугольник, площадью 2, но уже больше похожий на квадрат.
Идем дальше. Для следующего приближения опять возьмем прямоугольник, одна сторона которого равна среднему арифметическому сторон предыдущего, то есть 17/12. И опять определим вторую сторону, сохраняя площадь равной 2. Получим 24/17.
На следующем (третьем) шаге получим стороны прямоугольника 577/408 и 816/577.
На четвертом шаге получим 665867/470832 и 941664/665867.
А теперь давайте сравним точное значение √2 с приближением, полученном на четвертом шаге:
√2 =
1,414213562373095...
665867/470832 =
1,41421356237468...
То есть уже на четвертом шаге мы (а, вернее, они — древние вавилоняне) правильно определили 12 значащих цифр √2. При этом с каждым следующим шагом число правильных знаков удваивается!
Невероятный результат, особенно с учетом того, что получен он почти 4000 лет назад!
мы продолжаем увлекательный блокбастер про корни многочленов в зуме. день обычный, а время нет, будьте осторожны. ссылка для подключения появится перед докладом
[22 марта (пятница), 14:00, ЗУМ]
Ваня Яковлев,
"Теорема Абеля и дискриминант. Часть 2: монодромия"
На второй части доклада мы продолжим изучать геометрию пространства многочленов без кратных корней.
Я напомню, что происходит для степени 3 и покажу (трёхмерную!) картинку для степени 4, а потом мы перейдём к общей ситуации.
Основным объектом доклада будет отображение монодромии. С помощью него мы и докажем теорему Абеля.
Доклад рассчитан на слушателей начиная с 9 класса, которых не пугают слова "группа перестановок" (тем не менее, все определения будут даны). Также мы будем использовать производные многочленов
Мишель Талагран стал лауреатом Абелевской премии в 2024 году. Награда вручена с формулировкой «за новаторский вклад в теорию вероятностей и функциональный анализ с выдающимися приложениями в математической физике и статистике». Среди многих результатов Талаграна — доказательство формулы Париси для спиновых стекол и решение задачи Марахам
#Математика | *7.4
https://www.mathnet.ru/present12023
тождества Дайсона можно доказать¹ и при помощи тождества Эйлера-Якоби — обобщения обсуждавшегося тождества Эйлера на многочлены от нескольких переменных
более того, так можно доказать и q-версию тождеств Дайсона²
вот по ссылке про всё это рассказывает Ф.Петров (на ЛШСМ-2015)
¹ Р.Карасев, Ф.Петров. Partitions of nonzero elements of a finite field into pairs
² это уже непростое утверждение — если гипотезу Дайсона доказали в том же 1962 году, в котором он ее сформулировал, то q-версию предложил Эндрюс в 1975 году, а доказали ее Цейльбергер и Брессу только в 1985 году
продолжаем разговор про тождество Диксона (1) — давайте все-таки его докажем — и сразу в более общей¹ формулировке (2)
после того как мы добавили параметры, тождество в чем-то становится проще, так как правая часть теперь удовлетворяет линейной рекурренте (3) — и достаточно² проверить, что ей удовлетворяет и левая часть (2)
для этого заметим, что левая часть (2) — это свободный член выражения (4)…
…и теперь рекуррента немедленно следует из классического тождества Эйлера (5)
¹ исходный вариант соответствует a=b=c=m
² строго говоря, надо еще проверить гранусловия, но это совсем легко
// источник: I.J.Good. Short Proof of a Conjecture by Dyson (1970)
https://mccme.ru/nir/seminar/
в четверг (21.03) на семинаре учителей Наталия Стрелкова будет рассказывать про то как и зачем шевелить геометрию
19:00, столовая МЦНМО
Для вещественных чисел a³+b³=0 <=> a+b=0. Поэтому если x(x-1)…(x-n)=P³+Q³, то у P+Q есть корни 0,1,…,n, т.е. он делится на x(x-1)…(x-n).
То есть если такие многочлены нашлись, то P²-PQ+Q² — это константа. Но если у P и Q коэффициенты при x^k равны a и b, а членов более высокой степени нет, то у P²-PQ+Q² коэффициент при x^{2k} равен a²-ab+b² — т.е. P²-PQ+Q² может быть константой только если P и Q константы, противоречие.
Может показаться, что последний абзац можно и не читать, ну любому же ясно, что «если P, Q, P+Q многочлены степени n, то у P³+Q³ степень равна 3n», но…
Можно ли на плоскости из каждой точки с рациональными координатами выпустить по лучу так, чтобы никакие два луча не пересекались, а при этом среди прямых, содержащих эти лучи, не было параллельных (в т.ч. совпадающих)?
// такая задача П.Кожевникова с сегодняшнего устного тура Турнира городов, остальные — https://turgor.ru/oralround/45/vs-45-ustn-avt.pdf
https://math.hse.ru/srpc/
новый конкурс работ студентов и аспирантов по теории вероятностей (работы принимаются до 30 апреля)
https://mccme.ru/nir/seminar/
в четверг 4 апреля на семинаре учителей будет Дима Швецов
«Уже многие годы задачные композиторы радуют нас своими творениями. Задач становится всё больше, как не потеряться? Как всё это может использовать учитель в своей работе? На примере трудов Дмитрия Викторовича Прокопенко мы попробуем проследить как разрозненные задачи складываются в листки, сюжеты, статьи.»
19:00, столовая МЦНМО
https://youtu.be/QK-NzPa1lDg
видеозапись рассказа Алёны Горской про онлайн-занятия математикой со школьниками 1-2 классов
пусть, например, (RR) количество таких остатков, что n и n+1 оба квадратичные вычеты mod p
например, для p=11 таких пар две: (3,4) и (4,5)
вычетов половина, идут они более-менее случайно, так что можно ожидать, что (RR)≈p/4
упражнение: (RR) = (p±1)/4-1 (где знак надо выбирать так, чтобы разделилось)
фрагмент статьи для привлечения внимания
Читать полностью…
Ганс Гольбейн Младший. Послы (фрагмент)
Читать полностью…
какими формулами задаются «Вавилонские» итерации?
если одна сторона прямоугольника площади 2 равна x, то вторая равна 2/x
дальше мы заменяем x на среднее арифметическое двух сторон, x→x/2+1/x (и прямоугольники становятся все ближе к квадратам, а x все ближе к √2)
сравним это с методом Ньютона: чтобы найти корень уравнения f(x)=0, мы начинаем с какого-то x и представляем себе, что f примерно линейная — если f(x+t)≈f(x)+tf'(x), то f≈0 при t=-f(x)/f'(x), т.е. новое приближение получается заменой x→x-f(x)/f'(x)
в частности, для функции x²-2 мы получаем те же самые итерации: x→x-(x²-2)/(2x)=x/2+1/x
📢 Лекция Виктора КЛЕПЦЫНА в это воскресенье, 24 марта 15:00 МСК
🔍 Складывая игры: ним, хакенбуш и сюрреальные числа Конвея.
Многим известна игра «ним» — и описание выигрышных и проигрышных позиций в ней. Но как до него можно дойти? Мы придём к этому ответу, обсудим сложение игр (не чисел — игр!), теорему Шпрага-Гранди (Sprague-Grundy) — а потом перейдём к неравноправным (пристрастным) играм и сюрреальным числам Конвея.
Доклад рассчитан на матшкольников начиная с 8 класса. Знать заранее ничего не нужно.
https://turgor.ru/problems/45/vs-45-baz-avt.pdf
https://turgor.ru/problems/45/vs-45-sl-avt.pdf
опубликованы задачи весеннего Турнира городов
https://abelprize.no/abel-prize-laureates/2024
премию Абеля 2024 года получает Michel Talagrand «for his groundbreaking contributions to probability theory and functional analysis, with outstanding applications in mathematical physics and statistics»
нетрудно понять, что свободный член у
(1-x/y)^b (1-y/x)^a
равен биномиальному коэффициенту
тождество Диксона, как мы видели, это вычисление свободного члена у
(1-x/y)^b (1-x/z)^c (1-y/x)^a (1-y/z)^c (1-z/x)^a (1-z/y)^b
и можно продолжать дальше — аргумент Гуда доказывает тождества Дайсона о том, что свободный член равен мультиномиальному коэффициенту, для любого количества переменных
дальше можно рассматривать q-деформацию, можно переходить от A_n к другим системам корней (гипотезы Макдональда)…
в четверг (21.03) в 18:30 в Голубом зале Центрального дома ученых РАН будет заседание секции математики
Памяти великого мастера. К годовщине смерти Юрия Ивановича Манина
https://ium.mccme.ru/globus.html
в четверг (21.03) в рамках семинара «Глобус» — А.С.Скрипченко. Задача Новикова: как игра на бильярде помогает в физике металлов
15:40, конференц-зал НМУ