10419
Немного математики каждый день // для обратной связи: cme.chnl@gmail.com (интересным вещам по теме канала всегда рады; за деньги или за «обмен ссылками» ничего не публикуем)
в качестве картинки в выходные — обложка Фаворского книги Флоренского
Читать полностью…
https://www.ams.org/notices/202404/rnoti-p483.pdf
In Memory of Igor Krichever (вспоминают E.Arbarello, S.Brazovski, A.Braverman, V.Drinfeld, A.Dzhamay, P.Etingof, S.Grushevsky, N.Nekrasov, S.Novikov, A.Okounkov, D.Phong, L.Takhtajan, A.Varchenko, A.Veselov, P.Wiegmann, A.Zabrodin, T.Smoliarova)
https://www.maths.tcd.ie/pub/ims/bull27/bull27_46-54.pdf
James Ward. 100 years of Dixon's identity
выше была задача про знакопеременную сумму кубов биномиальных коэффициентов
по предыдущим пунктам можно подумать, что это тоже несложная задача — но это уже именная теорема (Диксона)
https://geometry.ru/olimp/2024/2024_zaoch_rus_sol.pdf
опубликованы решения заочного тура геометрической олимпиады им. Шарыгина
12–15 марта 2024 г. в МИАН пройдет Конференция «Бирациональная геометрия и многообразия Фано», посвященная 60-летию Ю. Г. Прохорова.
http://www.mathnet.ru/conf2390
Из книги "В.И.Арнольд. К 80-летию" - статья В.М.Тихомирова "Искры воспоминаний о В.И.Арнольде"
https://biblio.mccme.ru/node/6081
https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/
знаете, что такое мурмурации? а для эллиптических кривых?
«when a transatlantic collaboration used statistical techniques and artificial intelligence to discover completely unexpected patterns in elliptic curves, it was a welcome, if unexpected, contribution. (…) Since then, in a series of recent papers, mathematicians have begun to unlock the reasons behind the patterns, dubbed “murmurations” for their resemblance to the fluid shapes of flocking starlings»
https://ium.mccme.ru/globus.html
в четверг (07.03) в рамках семинара «Глобус» Л.Д.Беклемишев будет рассказывать про топологическую интерпретацию логики доказуемости
15:40, конференц-зал НМУ
Пришла весна, будет больше Солнца!
Выйдите в солнечную погоду с чашечкой кофе на свежий воздух. В домашних условиях: возьмите фонарик и посветите в чашку или эмалированную кастрюлю. На поверхности кофе или на дне вы увидите ярко освещённую кривую, называемую каустикой (др.-греч. καύστικος — жгучий). При отражении от цилиндрической поверхности лучи нарисуют нефроиду, а когда лучи света параллельны одной из образующих конической поверхности — кардиоиду.
Факт расхожий, но довольно часто можно встретить ошибочное утверждение, что и в случае цилиндра, и в случае конуса получается кардиоида. В новом фильме «Каустики: нефроида и кардиоида» https://etudes.ru/etudes/caustic-nephroid-cardioid/ постараемся разобраться, как возникают каустики, откуда берётся плоская картинка, появившаяся ещё в конце XVII века в труде Христиана Гюйгенса «Трактат о свете».
Понять это физическое явление — «каустика» — нам поможет математическое понятие «огибающая», подробно описанное в сюжете «Парабола: изонить». Установить, какая кривая получается в цилиндре, а какая — в конусе, поможет сюжет «Кардиоида и нефроида».
https://mccme.ru/nir/seminar/
в четверг (07.03) на семинаре учителей Алёна Горская будет рассказывать про сложности и радости онлайн-занятий олимпиадной математикой со школьниками 1 и 2 классов в Русской Математической Школе
19:00, столовая МЦНМО
https://www.geogebra.org/m/jFFERBdd#material/exrpd9dw
картинки по выходным — снова про теорему Пифагора
как собрать из (частей) правильных шестиугольников, построенных на катетах, правильный шестиугольник построенный на гипотенузе
🌷 Встречайте весну и новые наборы на Сириус.Курсах. Без сюрпризов снова не обошлось!
1 марта для вас открылись пять курсов:
Комбинаторика. 7 класс;
Геометрия. 9 класс;
Геометрия. 10–11 класс;
Лингвистика. Морфология;
Физика. Кинематика. 9 класс.
Замечаете что-нибудь необычное? Конечно, набор на геометрию для 10–11 классов стартовал впервые 🔥 Теперь в нашей онлайн-школе доступны 13 курсов по математике.
На этом новости не заканчиваются: через несколько дней вас ждёт очень много интересного. Есть догадки, что мы для вас приготовили?
Советуем включить уведомления на записи сообщества — вы не пожалеете!
https://www.youtube.com/playlist?list=PLIu8Mui0KEFd4OPkgVXeQgo8Unh3bK33b
появляются постепенно видеозаписи семинара Блинков-70
https://forms.gle/cWbjgzbBWkVA8MzA9
в среду (28.02) в онлайн-лектории для учителей математики И.С.Рубанов будет рассказывать про листочки как формат работы на математическом кружке
трансляции обычно появляются на user-gl4mf9bu2o/streams" rel="nofollow">https://www.youtube.com/@user-gl4mf9bu2o/streams
https://maa.org/press/periodicals/convergence/how-tartaglia-solved-the-cubic-equation-cubic-equations / https://maa.org/book/export/html/116630
подробности истории про кубические уравнения — в т.ч. комментированный перевод стихотворения Тартальи выше
«Igor Krichever was a bright pulse of light. Just the kind of nonlinear natural phenomenon that can be seen on a poster of a conference on integrable systems, his main field of interest. Except, this pulse was the opposite of solitary. Most of the time, he was this warm smiling globe of light that instantly made everybody feel understood, supported, and loved. And in those, sometimes rare, moments when he was free to do his mathematics, all that light could focus like a laser to dissect any mathematical difficulty and illuminate the core issue from within.
(…)
He was very passionate about the future of mathematics and, later in his life, he devoted a very large part of himself to administrative work. Everybody knows it is not easy to provide the institutional foundations on which mathematics can flourish: there will be some difficulties every single day, and it may be hard to resist approaching these difficulties with a formal, corporate logic. Igor was that rare kind of leader who always put people first.
(…)
But nothing can take away the legacy of Igor the original thinker. It is overwhelming to contemplate the brilliance and the fundamental nature of his contributions to mathematics. Many of them are the central pillars of building bridges between different fields, with a lot of ideas traveling in both directions. For me, he personified the fact that mathematical physics can interact and should interact with every branch of pure mathematics.»
https://writings.stephenwolfram.com/2017/10/are-all-fish-the-same-shape-if-you-stretch-them-the-victorian-tale-of-on-growth-and-form/
«Is there a global theory for the shapes of fishes? It’s the kind of thing I might feel encouraged to ask by my explorations of simple programs and the forms they produce. But for most of the history of biology, it’s not the kind of thing anyone would ever have asked. With one notable exception: D’Arcy Wentworth Thompson.
And it’s now 100 years since D’Arcy Thompson published the first edition of his magnum opus On Growth and Form—and tried to use ideas from mathematics and physics to discuss global questions of biological growth and form. Probably the most famous pages of his book are the ones about fish shapes»
трансляция: https://youtu.be/FMT6J9maZ2k
Читать полностью…
На фото: В.Тихомиров, А.Н.Колмогоров, С.Садикова. Москва, 1959 г. Фото Ю.В.Прохорова
Читать полностью…
📢 Лекция Владимира ФОКА в это субботу, 9 марта 12:00 МСК
🎤 Возобновляется наш онлайн семинар для старшеклассников и студентов.
📘 Всю осень на matklassonline выходил курс по комбинаторике (а мы с Максом Карсаковым вели по нему кружок). Вместо последнего занятия была обещана лекция – и вот наконец она состоится!
Владимир Фок — математик, профессор университета Страсбурга, специалист по матфизике.
🔍 Теорема Эйлера и бозоны-фермионы
Пентагональная формула Эйлера даёт разложение бесконечного произведения ∏(1 - q^n) в сумму
∑ (-1^k)q^(3k^2 - k)/2 = 1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^12 - ...
Доказательство этой формулы, вернее её обобщения — тройного произведения Якоби, предложенное Борхердсом, использует соответствие между диаграммами Юнга и диаграммами майя — бесконечными последовательностями крестиков и ноликов, а также понятие моря Дирака из физики. Идеи этого доказательства можно также использовать для решения многих других комбинаторных задач.
Доклад рассчитан на матшкольников начиная с 9 класса. Достаточно владения перечислительной комбинаторикой в объёме нашего курса.
https://doi.org/10.1002/jgt.3190070410
J. H. Conway, C. McA. Gordon. Knots and links in spatial graphs
есть много результатов типа «если взять достаточно много точек в общем положении, то среди них непременно найдется (…)»¹ — но эта пара особенно нравится (и доказательство по крайней мере первой из теорем несложное и получительное)
¹ вот например коллега Кноп рекламирует такой недавний: https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/3134763
Фотографии Антона Фонарёва
Читать полностью…
#1 В тетраэдр вписали сферу и провели касательные плоскости, параллельные граням. В четыре получившиеся тетраэдры вписали сферы. Доказать, что сумма радиусов 4 малых сфер равна удвоенному радиусу большой сферы.
#2 (n-мерное обобщение)
В n-мерный симплекс вписали сферу и провели касательные плоскости, параллельные граням. В n получившихся симплексов вписали сферы. Доказать, что сумма радиусов n малых сфер в n-1 раз больше радиуса вписанной сферы.
https://www.archim.org.uk/eureka/archive/Eureka-8.pdf
Professor Littlewood, when he makes use of an algebraic identity, always saves himself the trouble of proving it; he maintains that an identity, if true, can be verified in a few lines by anybody obtuse enough to feel the need of verification. My object in the following pages is to confute this assertion.
(…)
After a few preliminaries I state certain properties of partitions which I am unable to prove: these guesses are then transformed into algebraic identities which are also unproved, although there is conclusive numerical evidence in their support; finally, I indulge in some even vaguer guesses concerning the existence of identities which I am not only unable to prove but also unable to state. I think this should be enough to disillusion anyone who takes Professor Littlewood’s innocent view of the difficulties of algebra. Needless to say, I strongly recommend my readers to supply the missing proofs, or, even better, the missing identities.
// F.J.Dyson. Some Guesses in the Theory of Partitions (1944)
// См. тж. George E. Andrews, F.G. Garvan. Dyson's crank of a partition (1988)
(upd) говорят, что про новый курс геометрии для 10-11 — это некоторое преувеличение, скорее геометрию-9 разделили на две части (хотя кое-что и добавили)
Читать полностью…
первый пункт задачи выше — про то, что в любом множестве подмножеств из четного числа элементов столько же, сколько подмножеств из нечетного числа элементов
можно это доказать биективно — разбить все подмножества на пары с разной чётностью: зафиксируем какой-то один элемент и разобъем подмножества на пары, отличающиеся только наличием этого элемента
(дальше, кстати, можно подумать про обобщения: у скольких подмножеств количество элементов делится на 3? делится на 5?..)
но решить в таком же духе второй пункт уже не так легко (хотя и не бесконечно сложно)
зато здесь отлично работает алгебра: если N=2n, то фактически нас интересует коэффициент при t^n многочлена (1-t)^n × (1+t)^n (понятно ли, почему?)
осталось вспомнить, что (1-t)(1+t)=(1-t²), и сразу получается, что ответ — это центральный биномиальный коэффициент с естественным знаком
(продолжение следует)
пусть сегодня будет задача из трех пунктов
для N-й строки треугольники Паскаля найти
а) знакопеременную сумму чисел
б) знакопеременную сумму квадратов чисел
в) знакопеременную сумму кубов чисел
«…Он чем-то напоминает монстров из средневековых сказок: голова льва на теле лошади. Еще более жуткий способ заключается в том, чтобы взять две части животного и составить их, повернув одну из частей: возьмите льва, отрубите ему голову, а затем приделайте ее, обратив пастью назад. (…) В следующем примере мы отведем роль льва пространству HP^infty…»
цитата — из «Бесконечнократных пространств петель» Адамса
(а про разные пространства, петли на которых гомотопически эквивалентны S³, Адамс ссылается на статью Ректора «Loop structures on the homotopy type of S³»)
вместо картинок в эти выходные — стихотворение Тартальи о том, как решать кубические уравнения (~1539)
// via https://youtu.be/ZFOPxZtlkig