10419
Немного математики каждый день // для обратной связи: cme.chnl@gmail.com (интересным вещам по теме канала всегда рады; за деньги или за «обмен ссылками» ничего не публикуем)
Уравнение Риккати
когда-то увидел задачу в коментариях у ppetya, оствлю здесь чтобы не потерялось.
x'=F(x,t)
где F(x,t) -- квадратичный многочлен по x c гладкими, зависящими от t, коэфициентами, периодическими с периодом 1.
Может ли это уравнение иметь ровно пять 1-периодических решений?
------
Ответ: нет, не может, потому что если у такого уравнения есть хотя бы четыре 1-периодических решения, то все решения 1-периодические.
На самом деле квадратичные векторные поля на прямой образуют алгебру Ли, и ее легко идентифицировать как sl_2:
Рассмотрим действие SL_2 на проективной прямой дробно-линейными преобразованиями. Элементы алгебры Ли sl_2 дают на проективной прямой квадратичные векторные поля, например это можно проверить непосредственно для трех стандартных порождающих
x,h,y [y=(0,0;1,0) уйдет в -t^2 d/dt, h=(1,0;0,-1) в 2t d/dt, x=(0,1;0,0) в d/dt]
поэтому периодическое квадратичное векторное поле задачи можно представить в виде петли в алгебре Ли sl_2. Экспоненциальное отображение интегрирует эту петлю до петли в SL_2 которая дает поток дробно-линейных преобразований, являющийся решением нашего уравнения [то есть решение уравнения в момент t зависит от начальных условий проективно, по аналогии как для линейных уравнений эта зависимость афинная].
Периодические решения уравнения соотвествуют неподвижным точкам этого потока в момент времени t. Но если дробно-линейное преобразование неподвижно на пяти точках то оно тождественно, значит все орибиты 1-периодичны.
Для кубических векторных полей при этом ничего такого нет, потому что они не образуют алгебру Ли.
Из книги "В.И.Арнольд. К 80-летию" отрывок "Ранние воспоминания".
https://biblio.mccme.ru/node/6081
Из прямоугольника 3×6 вырезали одну клетку (см. рис.). «Пришейте» эту клетку в другом месте так, чтобы получилась фигура, которую можно разрезать на две одинаковых.
(Эту задачу Т.Казицыной на сегодняшем Матпразднике несложно решить — и хороший повод вспомнить, какие бывают движения плоскости.)
Для меня этот курс Вершика стал первым знакомством с асимптотической комбинаторикой. И с идеей, что очень часто число [комбинаторных] объектов большого размера N примерно данной формы оказывается ведущим себя, как экспонента от фиксированной степени N, умноженной на («энтропийный») функционал от формы — после чего предельная форма оказывается максимизирующей этот функционал.
(По ссылке на mathnet-е лежат и рабочие материалы/записки курса — https://www.mathnet.ru/PresentFiles/231/v231.pdf )
https://www.kommersant.ru/doc/3200633
к юбилею Анатолия Моисеевича Вершика — напомним относительно недавнюю “математическую прогулку” с ним
Дорогие друзья!
Наш лекторий продолжает работу
17.02.2024.
Лектор:Пётр Анатольевич Бородин, профессор мехманико-математического факультета.
«Почему число пи всегда между 3 и 4?»
Число пи, как отношение длины окружности к ее диаметру, равно 3,1416… на евклидовой плоскости. Если мерять расстояние между точками по-другому, то есть снабжать плоскость другой метрикой, это отношение может измениться. В лекции речь пойдет о различных метриках на плоскости и будет доказана теорема Голаба (1932) о том, что в любой из этих метрик число пи не меньше 3 и не больше 4.
Регистрация на лекцию доступна
https://in.mmmf.msu.ru/rus/event/8722/
Адрес: Ленинские горы, д.1 с.52, второй учебный корпус МГУ, северный вход (ближе к главному зданию МГУ), аудитория П-14 (первый этаж).
http://origametry.net/papers/amer.math.monthly.118.04.307-hull.pdf
Thomas C. Hull. Solving Cubics With Creases:
The Work of Beloch and Lill
из статьи можно узнать, как при помощи сгибания бумаги решать кубические уравнения
ключевая идея красивая: если вспомнить про параболу как огибающую, то сгибая лист бумаги легко научиться строить общие касательные к двум параболам…
«…Theoretically, we could end this paper right here, satisfied in the knowledge that origami can solve cubic equations. (Specifically, on the projective plane, finding common tangents to two parabolas is the dual problem to finding intersections of conics, which allows general cubic solutions to be constructed…) But Beloch provides a constructive proof…»
и конкретное построение решения кубического уравнения связано с методом решения уравнений «при помощи черепашек и лазеров» (Lill’s method) — про который можно, кстати, посмотреть еще ролик Mathologer’а https://youtu.be/IUC-8P0zXe8
https://mccme.ru/dubna/2024/prepods0.htm
идет прием заявок на проведение занятий на XXIII Летней школе «Современная математика» имени Виталия Арнольда
прием заявок от желающих участвовать в работе школы студентов и школьников начнется в марте, а пока можно посмотреть материалы прошедших школ — https://mccme.ru/dubna/courses/
В МИАН начинает работу семинар «Математические основы искусственного интеллекта». Первое заседание состоится 14 февраля 2024 г. в 17:00 в конференц-зале МИАН на 9 этаже.
Организаторы семинара: Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, МЦМУ МИАН, Отделение математических наук РАН.
Бюро семинара: А.И. Аптекарев (ИПМ РАН), Б.С. Кашин (МИАН, ОМН РАН), В.Н. Темляков (МИАН), Е.Е. Тыртышников (ИВМ РАН).
Будет организована трансляция в Zoom. В дальнейшем планируется проведение по средам примерно двух заседаний в месяц. Приглашаем всех желающих, включая студентов и аспирантов.
https://www.mathnet.ru/conf2402
https://woollymathematics.com/problem?problem_id=11851
продолжая тему журнала ‘Educational Times’ — вот, например, первая публикация про то, что сейчас называется «теорема Сильвестра-Галлаи»
Открытая лекция в рамках программы повышения квалификации Школково и Адыгейского университета
📝Тема: Об умении думать на уроках математики
🗣Спикер: Пратусевич Максим Яковлевич, учитель математики и директор ПФМЛ 239, Санкт-Петербург
📅Дата и время: 6 февраля (вторник) в 17:30 (время московское)
▶️Ссылка на подключение:
https://www.youtube.com/watch?v=MDsElODR0CI
Анонс: Не секрет, что в школе многие учителя придают решающее значение освоению алгоритмов решения стандартных задач, считая, что думать нужно учиться на математическом кружке посредством решения каких-то специальных "олимпиадных" задач. В лекции будет продемонстрировано, как в рамках изучения таких традиционных тем, как "Квадратное уравнение", можно попробовать активизировать желание подумать.
Рассмотрим и психологические трудности при решении задач.
в качестве картинок по выходным — /channel/olympgeom/1093
(доказать: красные окружности равны <=> синие окружности равны)
https://www.insmi.cnrs.fr/en/cnrsinfo/claire-voisin-awarded-crafoord-prize-mathematics-2024
Claire Voisin is awarded the Crafoord Prize in Mathematics 2024 … for her outstanding contributions to complex and algebraic geometry, including Hodge theory, algebraic cycles and hyperkähler geometry
https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ugradnumthy/congnumber.pdf
напомним также про заметки K.Conrad’а про конгруэнтные числа
https://mathenchant.wordpress.com/2024/02/17/plus-and-times-set-free/
«This essay chronicles the liberation of plus and times from narrow notions about what sorts of things can be added and multiplied — and, relatedly, what sorts of things numbers should be. With the advent of abstract notions of fields and rings in the late 19th and early 20th centuries, algebraists took addition and multiplication far beyond the borders of Number and in so doing showed that the border was artificial and an obstacle to progress.
One way I’ll bring a 20th century perspective into focus is to show how an abstract point of view can unify many of the disparate number systems (and not-quite-number systems) we’ve looked at so far, using the simple but powerful idea of modding out, freed from number-centric bias…»
https://mccme.ru/nir/seminar/
в четверг (22.02) на семинаре учителей Н.М.Нетрусова расскажет про математические мероприятия для всей семьи, А.С.Штерн — про формирование алгебраической культуры на ранних стадиях изучения алгебры
19:00, онлайн, ссылка для подключения будет на сайте
Завтра хороним Анатолия Моисеевича Вершика, моего великого учителя.
Я общался со многими умными и очень умными людьми, лауреатами и чемпионами. Способными решать дико сложные задачи. Чтобы так видеть
и чувствовать математику - никого.
В последние годы он много говорил и, определённо, ещё больше думал о смерти - при этом был полон планов, и планы как всегда были максимально амбициозные. (конечно, тут нет противоречия). Не как доказать то и это, а как должна быть устроена такая и этакая наука. Людям не с такой интуицией, как у АМ (а это так-то все мы, дорогие друзья) бывало потом удивительно, когда так она устроена и оказывалась.
Несколько вещей, которые непроизвольно воспринимаешь, учась у АМ.
Хороший вкус важнее технической силы. Внутренний интерес к задаче важнее моды. Понимание важнее, чем технически верное доказательства, пока теорема не понята вполне - надо над ней думать, даже если доказательство есть. Важнее уметь задавать вопросы, чем отвечать. Нельзя бояться нового. Вообще нельзя бояться.
Тут канал математический, а не личный, так что позволю себе привести один пример из творчества АМ. Станислав Улам поставил вопрос о размере максимальной возрастающей подпоследовательности в случайной перестановке большого числа n. Он был решён Вершиком и Керовым (1984), в двух словах так: надо сопоставить перестановке диаграмму Юнга с помощью алгоритма Робинсона - Шенстеда - Кнута, тогда максимальной возрастающей подпоследовательности соответствует её первая строка. Сколько раз получена каждая диаграмма, говорит формула крюков. Логарифм произведения крюков аппроксимируется интегралом, максимум интеграла находится стандартными методами, и так получается не только длина первой строки, но и вся предельная форма диаграммы, известная сейчас как кривая Вершика - Керова - Логана - Шеппа (задачу Улама Логан и Шепп, действовавшие независимо, при этом не решили: это более тонкий вопрос, чем предельная форма).
Таких вопросов в вероятностной и экстремальной комбинаторике можно задать и задают сколько угодно. И вообще-то АМ этой темой самой по себе не занимался. И совершенно не удивительно, только так и могло быть, что он ответил именно на тот, из которого в скорости выросла целая большая наука, со случайными матрицами, точечными процессами, специальными функциями и всем что вы можете вообразить - см. напр. пленарный доклад на ICM 2006 Ричарда Стенли или книжку Дана Ромика "The Surprising Mathematics of Longest Increasing Subsequences".
https://www.mathnet.ru/present231
А.М.Вершик. «A что будет, если n очень большое?» (ЛШСМ-2008)
Анатолий Моисеевич Вершик (28.12.1933–14.02.2024)
Читать полностью…
https://www.math.stonybrook.edu/~oleg/math/talks/mmo-talk.pdf
О. Виро. Пространства, о которых не принято говорить (слайды доклада на Московском мат. обществе)
В математическом сообществе имеются твёрдые взгляды на то, какие объекты хороши, а какие неприлично уродливы. У дифференцируемых многообразий локально всё должно быть прекрасно (т.е. тривиально), а если случатся особенности, то о них ничего не скажешь, потому что и соответствующих слов-то в нашей математически корректной терминологии нет. Все математики, кроме специалистов по комбинаторике, верят, что все конечные топологические пространства либо тривиальны, либо уродливы. И так далее. Я расскажу о том, чем хороши и на что годятся эти «уродцы».
// via В.Клепцын via Студенческий семинар по маломерной топологии
складывая бумагу можно сделать больше, чем позволяют только циркуль и линейка
вот, например, «удвоение куба» (построение кубического корня из 2) сгибанием квадратного листа бумаги
в качестве картинок по выходным — https://arxiv.org/abs/2312.02799
«In the theory of cellular automata, an oscillator is a pattern that repeats itself after a fixed number of generations; that number is called its period. A cellular automaton is called omniperiodic if there exist oscillators of all periods. At the turn of the millennium, only twelve oscillator periods remained to be found in Conway's Game of Life. The search has finally ended, with the discovery of oscillators having the final two periods, 19 and 41, proving that Life is omniperiodic. Besides filling in the missing periods, we give a detailed history of the omniperiodicity problem and the strategies used to solve it, summarising the work of a large number of people in the decades since the creation of Life.»
// за ссылку спасибо М.Раскину
картинка для привлечения внимания
Читать полностью…
https://youtu.be/e6aWnxWug08
свежий ролик про иглу Бюффона
https://mathoverflow.net/q/463436/
«Jorge Zuniga has discovered an impressive new infinite series for log(2) which allows computing this fundamental constant about twice as fast as with previously known formulas.
We are already using it in the development version of FLINT!
The formula is no doubt correct, as it checks out to billions of digits, but who can come up with a formal proof?» ( fredrikj/111870355465550674" rel="nofollow">https://mathstodon.xyz/@fredrikj/111870355465550674 )
https://mccme.ru/nir/seminar/
в четверг (08.02) на семинаре учителей Михаил Евдокимов будет рассказывать про Квантландию
как обычно: 19:00, столовая МЦНМО, приглашаются все желающие, подробности на сайте
Аннотации мини-курсов Математической весны 2024
🏛 В этом году мы пригласили девятерых лекторов из Москвы, Новосибирска, Нижнего Новгорода, Ростова-на-Дону и Саратова
🎓 Свои курсы лекций проведут: Д. В. Трещев, А. Е. Миронов, Ю. С. Ильяшенко, А. С. Скрипченко, И. В. Асташова, П. В. Купцов, Д. М. Поляков, В.А. Кибкало и К. А. Сафонов
Мы ждём вас на нашей школе-конференции!
🗺 Где: Нижний Новгород, улица Костина, 2Б (Высшая школа экономики)
📆 Когда: 25-28 марта
📮 Аннотации лекций и регистрация по ссылке:
https://clck.ru/37eWFk
https://ium.mccme.ru/s24/s24.html
на следующей неделе начинается весенний семестр в НМУ; подробности — по ссылке
в т.ч. для 1 курса читают топологию — К.В.Логинов, алгебру — А.И.Ильин, анализ — И.В.Вьюгин
для 2 курса теорию вероятностей — С.В.Шапошников, топологию — А.Д.Рябичев и Ф.Е.Вылегжанин, дифф. геометрию — Г.И.Шарыгин
https://mccme.ru/nir/seminar/files/seminar24.pdf
XIII выездной семинар учителей планируется с 29 апреля по 5 мая в Казани
по ссылке объявление с подробностями (в т.ч. ссылка на регистрацию — если это интересно, лучше сильно не откладывать)
материалы прошедших выездных семинаров можно найти на странице https://mccme.ru/nir/seminar/conf.htm