10419
Немного математики каждый день // для обратной связи: cme.chnl@gmail.com (интересным вещам по теме канала всегда рады; за деньги или за «обмен ссылками» ничего не публикуем)
12 февраля 2024 г. начинается весенний семестр Научно-образовательной программы МЦМУ МИАН (НОЦ).
https://mi-ras.ru/index.php?c=noc2324_2
https://www.youtube.com/live/uyPtQqHSjUA
видеозапись рассказа Наталии Стрелковой про степени свободы и т.п. в геометрии
картинки по выходным — про «ожерелье Антуана»
https://maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/antoines-necklace-or-how-to-keep-a-necklace-from-falling-apart
Antoine's Necklace is totally disconnected, compact, and perfect. (…) [It] looks like the beads of a necklace; there is no string (since A is totally disconnected), but it cannot fall apart!
Давайте я чуть-чуть добавлю к тому, что пишут коллеги.
Все знают, что планеты движутся вокруг звезды по эллипсам. И навскидку не очень ясно, как это утверждение доказывать, не закапываясь в какие-нибудь жуткие выкладки.
Лет пять назад появилось выложил замечательное видео (на канале minutephysics с 3blue1brown) про лекцию Фейнмана об этом, « Feynman’s Lost Lecture ».
Я его очень рекомендую посмотреть — но если коротко, есть совершенно замечательный промежуточный шаг, который, услышав однажды, забыть нельзя.
Отложим скорости планеты в разные моменты времени от начала координат. Оказывается, что концы этих векторов образуют окружность — просто с центром не в начале координат!
(«Годограф скоростей — круглый»)
Чтобы вывести это утверждение, нужны и закон всемирного тяготения, и закон сохранения момента импульса (а точнее, следующий из него второй закон Кеплера — правило площадей). А вывод из него эллиптичности орбиты связан как раз с картинкой с эллипсом-огибающей!
(Я немного об этом когда-то писал — см. тут и ниже — но очень советую посмотреть и видео, и страницы/миниатюры Мат. Этюдов про огибающие.)
http://dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/cubic.html
как научиться решать кубические уравнения?
«I shall try to show that it is possible to derive such a formula by following standard mathematical instincts, without the need for mysterious flashes of inspiration. I am certainly not claiming that any sensible person should be able to derive the formula in an hour or two - finding the right `standard mathematical instinct' normally involves trying several that do not work. Nevertheless, the list of suitable ones to try in any given situation is usually not too long. If you are young and ambitious and do not yet know how to solve cubics, I would recommend having a go, or perhaps reading a short way into this page and then having a go. Your chances of succeeding in a few hours are probably higher than you think.»
просто еще картинки из статьи
Читать полностью…
В 2023/2024 учебном году Лига МатШкол города Москвы и Ассоциация учителей математики совместно с Центром педагогического мастерства проводят регулярный лекторий для учителей математики. Трансляция ведется на Youtube.
Двенадцатая лекция состоится 24 января.
Начало: 17:00.
Продолжительность: 60 минут.
Спикер: Стрелкова Наталия Павловна, учитель математики школы 179.
Тема: "Пошевелим геометрию и стереометрию".
Как решить геометрическую задачу? Бывает полезно понять, какие есть степени свободы у конструкции. Какие ограничения наложены условиями задачи. Все ли их мы уже учли. Выдвинуть гипотезы и проверить их, пошевелив конструкцию. Разберём примеры и немного пофилософствуем. Будут как очень простые стандартные задачи, так и задачи посложнее.
Регистрация по ссылке: https://forms.gle/DLcSQ2EH5yyFApwA6
https://cs.hse.ru/seminatfkn/
в пятницу 19.01 на мат. семинаре ФКН А.С.Скрипченко будет рассказывать про перекладывания отрезков и подобное
Вспомнил Антона Петрунина и свою быструю гипотезу о многомерной теореме Коши.
Тем кто интересуется геометрией нужно посоветовать его книгу (текст продолжает меняться!).
https://anton-petrunin.github.io/puzzles/
https://arxiv.org/abs/0906.0290
Problems for the graduate students who want to improve problem-solving skills in geometry. Every problem has a short elegant solution -- this gives a hint which was not available when the problem was discovered.
Под теоремой Коши здесь я понимаю утверждение о том что для иммерсированной кривой на плоскости с различными концами найдется касательная, параллельная хорде, соединяющей концы этой кривой.
Хочется найти многомерное обобщение этой простой теоремы. Например, у меня был такой вопрос -- пусть есть иммерсии (или даже вложения) n-мерного многообразия с краем в R^{n+1}. Пусть на крае многообразия эти иммерсии зафиксированы. Правда ли, что для связной компоненты иммерсий с фиксированным отображением на границе есть направление l и точка внутри n-мерного многообразия в которой касательная гиперплоскость параллельна l? В теореме Коши n=2, l -- это направление хорды, соединяющей концы иммерсии.
Антон построил замечательный контрпример. Никакое положительное утверждение, обобщающее теорему Коши, неизвестно. Это открытый вопрос.
https://mathoverflow.net/questions/16335/a-generalization-of-cauchys-mean-value-theorem
https://arxiv.org/abs/0910.3129
Richard Kenyon. Lectures on Dimers
на кружках для начинающих часто обсуждают разбиения клеточных фигур на доминошки (прямоугольники 2×1)... можно считать, что по ссылке продолжение
https://prideout.net/blog/svg_knots/
в качестве картинок по выходным — узлы
To create these diagrams, I hacked together a Python pipeline that looks like this:
Gauss Code » Combinatorial Embedding » Half-Edge Structure » Circle Packing » SVG
детали дальше — по ссылке
https://mccme.ru/ru/math-circles/circles-mccme/20232024/
после новогодних праздников в МЦНМО продолжают работу мат. кружки
в т.ч. по пятницам 8 класс (Д.А.Калинин), по субботам 7 класс (В.В.Миронов), по вторникам 4-5 классы (Т.В. Казицына), по средам 6 класс (Н.А.Солодовников)
если есть желание заниматься, то самое время присоединяться
как обычно: занятия бесплатные, никаких предв. регистраций не требуется
музыка: В. Произволов, слова: народные
Докажите, что выпуклый многоугольник можно разрезать на 2023 параллелограмма тогда и только тогда, когда его можно разрезать на 2024 параллелограмма.
https://www.mathnet.ru/rus/rm9876
«Настоящая статья представляет собой обзор математических работ Григория Иосифовича Ольшанского, автора основополагающих исследований по представлениям бесконечномерных групп, по детерминантным случайным точечным процессам и по многомерным специальным функциям. Также мы вкратце коснемся новых направлений и новых возможностей, возникших в связи с его открытиями.»
«Скажем несколько слов о биографии Григория Иосифовича. Он родился в Москве 8 января 1949 г. в семье киносценариста и писателя Иосифа Григорьевича Ольшанского. По окончании аспирантуры, в 1972–1975 гг., работал в должности младшего научного сотрудника в НИИ дошкольного воспитания АПН СССР, в 1975–1987 гг. (когда были сделаны основные работы по представлениям бесконечномерных классических групп) работал старшим научным сотрудником ВНИИПИCтромсырье (…). С 1991 г. Григорий Иосифович работает в Институте проблем передачи информации РАН (ведущим, а затем главным научным сотрудником), с 2013 г. он является также профессором Высшей школы экономики, а с 2017 г. – профессором Сколтеха.
В 1970–1980-е годы Г.И.Ольшанский был одним из самых активных участников семинара А.А.Кириллова по теории представлений – в то время одного из важнейших математических семинаров Москвы. Кроме того, Григорий Иосифович поставил у себя дома доску и регулярно проводил встречи и небольшие семинары с молодыми людьми (…). В 1980-х – начале 1990-х годов он фактически был научным руководителем ряда участников семинара Кириллова, среди его учеников того времени – такие ставшие впоследствии известными авторы, как А.М.Бородин, А.И.Молев, М.Л.Назаров, А.Ю.Окуньков. Среди более поздних учеников – Алексей И. Буфетов, В.Е.Горин, В.Н.Иванов, А.А.Осиненко, Л.А.Петров (…).
Г.И.Ольшанский – автор 110 научных статей и совместной с А.М.Бородиным книги “Representations of the infinite symmetric groups” (…).
Г.И.Ольшанский был приглашенным докладчиком на IV Европейском математическом конгрессе 2004 г. (совместный доклад с А.М.Бородиным “Теория представлений и точечные случайные процессы”), а также на Международном математическом конгрессе 2014 г. (доклад “Графы Гельфанда–Цетлина и марковские процессы”). Он входит в правление Московского математического общества и в редколлегии журналов “Функциональный анализ и его приложения”, “Transformation Groups”, “Journal of Lie Theory”, “SIGMA”.»
Нерегулярная рубрика «рабочие картинки» (они красивые, хочется поделиться): часть поверхности Маркова
x^2+y^2+z^2-xyz = D
и некоторые слоения на ней.
https://youtu.be/zmy0vbphwYw
видеозапись рассказа Г.Б.Шабата про площади пифагоровых треугольников и рациональные точки на кубических кривых
Тут некоторые ради топологии. Вот вам занятный микросюжет.
Известно, что любая триангуляция сферы с g ручками (aka ориентированной поверхности рода g) имеет не меньше чем
n(g) = верхнее_целое_от(7+sqrt(48*g+1))/2
вершин. Это решение квадратного неравенства, сынок. Больше ничто в мире не выглядит так.
Откуда берется квадратное неравенство можно по-простому узнать у Юнгермана-Рингеля http://archive.ymsc.tsinghua.edu.cn/pacm_download/117/6282-11511_2006_Article_BF02414187.pdf либо упороться и вывести из общей теоремы Новик-Шварца о цоколях алгебр Стенли-Райснера триангулированных многообразий. Второе - путь истинных самураев, о нем нигде не написано, но я рассказывал в Сириусе (запись первой лекции они эпично продолбали, вторая непосредственно про алгебру сохранилась https://www.youtube.com/watch?v=-B13DZT9BuY&list=PL6uiQuKj1IZrE1ArNcjOgqD3oXTP-xNrR&index=6 )
Вот эти чиселки получаются для сферы n(0)=4, для тора - n(1)=7, для кренделя - n(2)=9 и т.д. Это, конечно, связано с тем, что наибольший полный граф, который можно нарисовать без самопересечений на сфере - K_4, а на торе - K_7.
Основной результат Юнгермана-Рингеля все же о том, что эта оценка точна: для всех* ориентируемых поверхностей существует триангуляция с n(g) вершинами. А точнее - для всех, кроме кренделя. У кренделя нет 9-вершинной триангуляции, но есть 10-вершинная.
Почему крендель так выделяется среди поверхностей - вообще непонятно. Все доказательства несуществования 9-вершинной триангуляции кренделя - переборно компьютерные, концептуальных нет. Я, собственно, затевал курс про алгебры Стенли-Райснера потому что нашел концептуальное доказательство. Но участник нашей школы, Илья Толстухин, вначале нашел у меня лажу, потом нашел статью с альтернативным алгебраическим доказательством, а потом нашел лажу и там. Даже обобщенная g-гипотеза для многообразий (которую Адипрасито то ли доказал, то ли нет) тут никак не помогает. Так что вопрос концептуального доказательства про крендель, как говорится, widely open.
А вы теперь знаете этот странный факт. Надеюсь, крендель займет почетное место на полке с группой перестановок S_6.
https://sites.google.com/view/olshansky-75
3 февраля будет дистанционная конференция «Большие группы в примерах и задачах» в честь 75-летия Григория Ольшанского
будут рассказывать А.Молев, С.Шлосман, А.Вершик, Ю.Неретин, А.Окуньков, Ал.Буфетов, А.Бородин, Б.Фейгин
https://biblio.mccme.ru/node/225913
вышла брошюра «Теория внутренних множеств: Аксиоматический подход к нестандартному анализу» С.О.Сперанского по его мини-курсу на ЛШСМ-2023
Современный нестандартный анализ позволяет строго обосновать метод актуальных бесконечно малых, восходящий к Лейбницу и Ньютону. В частности, в его рамках можно дать строгие определения предела и производной без использования эпсилон-дельта техники.
Цель данной брошюры — познакомить читателей с одним популярным аксиоматическим подходом к нестандартному анализу, в основе которого лежит так называемая “теория внутренних множеств”, IST. Последняя обогащает обычную теорию множеств, ZFC, посредством добавления аксиом, гарантирующих существование разнообразных полезных нестандартных объектов.
St. Petersburg mathematicians and their discoveries
Книжка про математиков Петербурга и их открытия — завершена.
Теперь напечатаем малым тиражом и разошлём авторам и всем причастным.
Кому интересно иметь её в бумажном виде — печатайте сами себе в каком-нибудь самиздате (вроде есть сайты, куда можно pdf загрузить, и потом в мягком переплёте получить по почте).
построение упаковки кругов по триангуляции и другие картинки — в статье https://www.ams.org/notices/200311/fea-stephenson.pdf
Kenneth Stephenson. Circle Packing: A Mathematical Tale
https://mccme.ru/nir/seminar/
в четверг (25.01) на семинаре учителей Г.Б.Шабат будет рассказывать про площади пифагоровых треугольников — по мотивам недавних занятий Клуба Экспериментальной Математики, который работает под руководством докладчика уже 40 лет
как обычно: 19:00, столовая МЦНМО, приглашаются все желающие, подробности на сайте
https://deepmind.google/discover/blog/alphageometry-an-olympiad-level-ai-system-for-geometry/
https://github.com/google-deepmind/alphageometry
«In a paper published today in Nature, we introduce AlphaGeometry, an AI system that solves complex geometry problems at a level approaching a human [IMO] gold-medalist — a breakthrough in AI performance. In a benchmarking test of 30 Olympiad geometry problems, AlphaGeometry solved 25 within the standard Olympiad time limit. For comparison, the previous state-of-the-art system solved 10 of these geometry problems, and the average human gold medalist solved 25.9 problems.»
«AlphaGeometry is a neuro-symbolic system made up of a neural language model and a symbolic deduction engine, which work together to find proofs for complex geometry theorems.»
«Chen said: “AlphaGeometry's output is impressive because it's both verifiable and clean. Past AI solutions to proof-based competition problems have sometimes been hit-or-miss (outputs are only correct sometimes and need human checks). AlphaGeometry doesn't have this weakness: its solutions have machine-verifiable structure. Yet despite this, its output is still human-readable. One could have imagined a computer program that solved geometry problems by brute-force coordinate systems: think pages and pages of tedious algebra calculation. AlphaGeometry is not that. It uses classical geometry rules with angles and similar triangles just as students do.”»
(via addmeto via А.Туганбаев)
https://mccme.ru/oluch/info24.htm
XIX заочный творческий конкурс учителей математики
девять заданий, разбитых на три блока: математический, методический и аналитический
решения принимаются до апреля
НИИЧАВО? Нет, МИАН. Табличка /channel/EtudesRu/671 из старого здания, в котором располагался Математический институт им. В.А. Стеклова РАН до 1996 года.
«Математический вторник» случился в воскресенье, так как (начиная с 2019 года) 14 января отмечается Всемирный день логики (World Logic Day) https://www.unesco.org/en/days/world-logic .
Эта дата является одновременно годовщиной смерти Курта Гёделя и днём рождения Альфреда Тарского — выдающихся математиков и логиков, оказавших огромное влияние на развитие логики в ХХ веке.
Напомним про статью Льва Дмитриевича Беклемишева в книге «Математическая составляющая» https://book.etudes.ru/articles/mathnlogic/ и записи его разговоров «Беседы о логике» https://youtu.be/M-UQ6LZbEAU?si=VYQ14wtEh5oNmOJD , https://youtu.be/QPV97L95hmU?si=3D93PeXlHob3g3tb .
https://www.ams.org/journals/notices/202401/rnoti-p79.pdf
Mathematical Proof Between Generations
«A proof is one of the most important concepts of mathematics. However, there is a striking difference between how a proof is defined in theory and how it is used in practice. This puts the unique status of mathematics as exact science into peril. Now may be the time to reconcile theory and practice, i.e., precision and intuition, through the advent of computer proof assistants. This used to be a topic for experts in specialized communities. However, mathematical proofs have become increasingly sophisticated, stretching the boundaries of what is humanly comprehensible, so that leading mathematicians have asked for formal verification of their proofs. At the same time, major theorems in mathematics have recently been computer-verified by people from outside of these communities, even by beginning students…»
«Our contributors express different points of view in this text, so it is natural that upon reading, you might not agree with all of their claims. In fact, this also applies to contributors and referees: reading some of the exchanged messages led one of us to remark, “is this still mathematics or already real-life soap opera?” We hope that the kaleidoscope in this text will provide inspiration and help readers develop their own point of view.»
вот, например, такая пара задач из книги Произволова «Задачи на вырост»
1) Правильный 8-угольник разрезан на несколько параллелограммов. Докажите, что среди них есть хотя бы два прямоугольника.
2) Докажите, что правильный 8-угольник нельзя разрезать на параллелограммы одинаковой площади.
https://mccme.ru/nir/seminar/
в четверг (11.01) продолжится семинар учителей математики:
А.Д.Блинков будет рассказывать про книжку «Площади без формул», которая скоро выйдет в серии «Школьные математические кружки»
как обычно: 19:00, столовая МЦНМО, приглашаются все желающие
обзор Г.Б.Шабата (из нового, 32-го выпуска Мат. Просвещения) работ Ю.И.Манина (16.02.1937–07.01.2023)
Читать полностью…
https://www.ihes.fr/~gromov/wp-content/uploads/2018/08/nash-copy-Oct9.pdf
«Is there anything interesting left in isometric embeddings after the problem had been solved by John Nash? We do not venture a definite answer but we outline the boundary of our knowledge and indicate conjectural directions one may pursue further.
(…) The terrain of isometric embeddings and the fields surrounding this terrain are vast and craggy with valleys separated by ridges of unreachable mountains; people cultivating their personal gardens in these “valleys” only vaguely aware of what happens away from their domains and the authors of general accounts on isometric embeddings have a limited acquaintance with the original papers. Even the highly cited articles by Nash have been carefully read only by a handful of mathematicians…»
M.Gromov. Geometric, Algebraic and Analytic Descendants of Nash Isometric Embedding Theorems