10419
Немного математики каждый день // для обратной связи: cme.chnl@gmail.com (интересным вещам по теме канала всегда рады; за деньги или за «обмен ссылками» ничего не публикуем)
https://youtu.be/9CBS5CAynBE
свежее видео о том, от чего (кроме чисел) и как можно брать экспоненту
Гервер, Константинов, Кушниренко. Задачи по алгебре и анализу, предлагавшиеся учащимся 9 и 10 классов [школы №7] (1965) — к истории матклассов в Москве
(upd) есть и html-версия: https://www.mathedu.ru/text/obuchenie_v_matematicheskih_shkolah_1965/p41/
Хотелось бы напомнить про трехтомник Верещагина и Шеня «Лекции по математической логике и теории алгоритмов».
Часть 1. Начала теории множеств
https://mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part1-5ed.pdf
«Основные понятия теории множеств (мощности, трансфинитная индукция, ординалы) входят в число вещей, которые хорошо бы знать любому грамотному математику (даже если он не является математическим логиком или общим топологом). Обычно про них коротко пишут в первых главах учебников анализа, алгебры или топологии, спеша перейти к основной теме книги. А жаль — предмет достаточно интересен, важен и прост, чтобы рассказать о нём не торопясь.
Именно такой популярный рассказ мы пытались написать, имея в виду самых разных читателей: от подготовленного школьника (захотевшего перейти от побед на олимпиадах к чему-то более осмысленному) до профессионального математика (решившего прочитать по дороге на отдых, что же такое трансфинитная индукция, которую всегда заменяют леммой Цорна).»
Часть 2. Языки и исчисления
https://mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-5ed.pdf
«Центральная идея математической логики восходит ещё к Лейбницу и состоит в том, чтобы записывать математические утверждения в виде последовательностей символов и оперировать с ними по формальным правилам. (…) революционная программа Лейбница построения формальных оснований математики осуществилась, но незаметно: под здание математики подвели новый (и довольно прочный) фундамент, но большинство жильцов про это до сих пор не знают.
(…)
В этой книжке мы расскажем об одном из центральных понятий математической логики — языках и исчислениях первого порядка. В этих языках используются логические связки «и», «или», «если… то…», а также кванторы «для всех» и «существует». Оказывается, что этих средств достаточно для формализации математических теорий и что можно построить простые формальные правила, полностью отражающие смысл этих логических средств.»
Часть 3. Вычислимые функции
https://mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-5ed.pdf
«Теория вычислимых (с помощью компьютеров) функций появилась в 1930-е годы, когда никаких компьютеров ещё не было. Первые компьютеры были разработаны в 1940-х годах, и среди их разработчиков был английский математик Алан Тьюринг, один из создателей теории вычислимых функций.
(…)
Мы сознательно не касаемся теории сложности вычислений — это большая и отдельная тема. Вместо этого мы попытались отобрать центральные понятия и факты общей теории алгоритмов и изложить их понятно, стараясь не заслонять простые общие идеи техническими деталями. Мы не предполагаем никаких специальных предварительных знаний, хотя рассчитываем на некоторый уровень математической культуры.»
картинки по выходным — про изометрическое вложение плоского (!) тора в трехмерное пространство
объяснения: https://hevea-project.fr/ENPageToreDossierDePresse.html
https://www.kommersant.ru/doc/3200633
к юбилею Анатолия Моисеевича Вершика — напомним относительно недавнюю “математическую прогулку” с ним
https://logic.pdmi.ras.ru/GeneralSeminar/index-r.html
28 декабря в 13 часов на общеинститутском семинаре ПОМИ РАН будет доклад, посвященный юбилею А.М.Вершика
В.М.Бухштабер. Дифференциальная геометрия и алгебраическая топология нильмногообразий
https://balit.ski/mipt2023systolic/
рассказы про систолическое неравенство и т.п. на русском языке
Вышел 32-ой номер Математического просвещения
Содержание и некоторые материалы в pdf: https://old.mccme.ru/free-books/matpros-32.html
Купить можно в магазине МЦНМО: https://biblio.mccme.ru/node/225083
https://www.ihes.fr/~gromov/wp-content/uploads/2018/08/177.pdf
к юбилею Громова — пусть здесь будет его текст про знак и геометрический смысл кривизны
«The curvature tensor of a Riemannian manifold is a little monster of (multi)linear algebra whose full geometric meaning remains obscure. However, one can define using the curvature several significant classes of manifolds and then these can be studied in the spirit of the old-fashioned synthetic geometry with no appeal to the world of infinitesimals where curvature tensors reside…»
Первая часть шестнадцатой проблемы Гильберта содержит в себе вопрос о взаимном расположении овалов вещественной алгебраической кривой на вещественной проективной плоскости -- у нас все кривые вещественны сейчас. Если кривая задана однородным многочленом P(x,y,z)=0 и степень многочлена P равна n, то число ее компонент связности не больше 1/2(n-1)(n-2)+1. Это теорема Харнака, Харнак же построил и пример максимальной кривой степени n.
Насколько я понимаю, эта задача Гильберта -- какие "картинки" могут реализовываться кривыми данной степени -- специалистами признается безнадежной. Для степени 8 максимальная кривая состоит из 22 овалов и осталось реализовать или доказать что невозможно реализовать 6 случаев. И за последние двадцать лет прогресса нет. А с большими степенями все совсем плохо.
Тем самым, следующая теорема Г.Михалкина выглядит совершенно удивительной.
Пусть есть максимальная кривая степени n. А кроме того на проективной плоскости заданы три прямые (не проходящие через одну точку) -- например "оси координат и бесконечноудаленная прямая". Кривая называется максимальной по отношению к этой тройке прямых, если у этой кривой есть компонента, на которой можно выбрать три непересекающиеся дуги, каждая из которых пересекает свою прямую в n точках. (рисунки в комментариях и статье Михалкина https://arxiv.org/pdf/math/0010018.pdf )
Теорема Михалкина говорит, что такая максимальная кривая, максимальная по отношению к трем прямым -- одна (с точностью до гомеоморфизма проективной плоскости). И это та кривая, которую нашел еще Харнак! Очень красивая -- и по формулировке и по доказательству теорема, ради таких теорем стоит изучать математику.
А в вещественной алгебраической геометрии много еще красивого.
https://ems.press/books/standalone/272
выложены труды ICM-2022
«Following the long and illustrious tradition of the International Congress of Mathematicians, these proceedings include contributions based on the invited talks that were presented at the Congress in 2022.
Published with the support of the International Mathematical Union and edited by Dmitry Beliaev and Stanislav Smirnov, these seven volumes present the most important developments in all fields of mathematics and its applications in the past four years. In particular, they include laudations and presentations of the 2022 Fields Medal winners and of the other prestigious prizes awarded at the Congress.»
https://www.mathnet.ru/rus/kvant4170
https://www.mathnet.ru/rus/kvant4189
к юбилею Николая Петровича Долбилина — вот две части его статьи в Кванте этого года как раз про упаковки шаров
>>электрон тетраэдр так же неисчерпаем, как атом треугольник (Ленин Руденко).
>>
Даня Руденко занимался алгебраической геометрией, и по ходу открыл новое тождество для тетраэдров (по ссылке вполне mesmerizing story об этом). После долгих поисков он обнаружил похожее тождество в старинном журнале The Educational Times.
Потом он же сотоварищи сделал сайт с геометрическими задачками из старых журналов.
На сайте тысячи старинных задач с прикрученным поиском. Красота! Практически склеил двух столетий позвонки (в хорошем смысле).
Если есть предложения как улучшить сайт с задачами: предлагайте!
Вышла книга П.Уинклера "Математические головоломки. Коллекция гурмана"
https://biblio.mccme.ru/node/221526
Это сборник математических задач олимпиадного типа, популярный у преподавателей математических кружков. Теперь он выходит в русском переводе, с дополнениями и уточнениями.
Отечественному читателю будет приятно отметить, что многие из задач этого сборника предлагались на всесоюзных математических олимпиадах или публиковались в журнале «Квант».
Для старшеклассников, студентов и всех интересующихся математикой.
https://www.youtube.com/playlist?list=PLVV0r6CmEsFzDA6mtmKQEgWfcIu49J4nN
сегодня 100 лет со дня рождения Фримена Дайсона (15.12.1923–28.02.2020)
по ссылке — большое интервью с ним
https://www.mathnet.ru/rus/mat8
https://www.jstor.org/stable/1969840
в продолжение картинок про плоский тор — классическая статья Нэша про С¹-изометричные вложения
Формулу Эйлера-Якоби, я вспомнил потому, что с ней был связан прогресс в вещественной алгебраической геометрии начатый Петровским. Что сделал Петровский в связи с 16 проблемой Гильберта? Арнольд пишет, что Петровский заложил основы новой науки -- вещественной алгебраической геометрии. Новым ингредиентом, внесенным Петровским в вещественную алгебраическую геометрию, была как раз формула Эйлера-Якоби.
Конкретный новый результат Петровского (1938): нет вещественной алгебраической кривой степени 6 все 11 овалов которой лежат вне друг-друга (на вещественной проективной плоскости можно определить, что значит один овал лежит внутри другого). Вот эту первую теорему мне захотелось подробно разобрать опять, я ее понимал раньше. (Конечно это частное следствие неравенств Петровского.)
Формула Эйлера-Якоби это равенство типа: сумма по всем (комплексным тоже!) корням y системы полиномиальных уравнений Q(y)=0 (уравнений столько же сколько неизвестных) величины h(y)/Q'(y) (где на степень многочлена h есть ограничения, Q' -- якобиан, связанный с системой, которая наверно должна быть достаточно "общей") равна нулю. Эта формула удивительна даже на самый первый взгляд -- если какие-то корни сливаются, то якобианы стремятся к нулю, однако" бесконечности" в сумме нейтрализуют друг-друга.
Я встретил эту формулу больше 30 лет назад, читая "Особенности дифференцируемых отображений" Арнольда, Варченко и Гусейна-Заде (в главе написанной Хованским), там объяснялось, что такое след формы при отображении -- в комплексном мире можно формы двигать "вперед"! При помощи этой формулы (или ее обобщения) естественно строится квадратичная форма на локальной алгебре, особой точки векторного поля сигнатура которой равна индексу этой особой точки! Так (примерно) алгебра соединяется с топологией.
Потом я ее видел в "Принципах алгебраической геометрии" Гриффитса и Харриса, которая просто очень хорошая но большая, а вот еще замечательный текст Гриффитса "Variations on a Theorem of Abel" -- https://publications.ias.edu/sites/default/files/variationsonatheorem.pdf (его еще вспомнил С.Галкин) , который несомненно нужно открыть.. потому что он про все и связан со следом и всякой наикрасивейшей геометрией типа "сложения на кубике", теоремой Понселе итд и ради всего такого стоит думать про математику. Чего я всем и желаю в наступающем году.
https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/431665/Aleksandr_Shen_Uchenikom_Kolmogorova_ya_ne_byl
к дню рождения А.Шеня пусть здесь будет его интервью (с дополнением В.А.Успенского)
https://mccme.ru/free-books/
Дед Мороз напоминает про страницу, на которой бесплатно доступны файлы множества книг (в основном издательства МЦНМО)
брошюры библиотеки «Математическое просвещение» и Летней школы «Современная математика», доклады семинара «Глобус» и материалы выездного семинара учителей, книги Арнольда и Гельфанда, Прасолова и Шеня и многое другое.
новогодние каникулы — как раз хорошая возможность спокойно почитать
https://youtu.be/5VGF6CEwg2s
«Двое играют, бросая кубик. Сначала серию бросков делает первый игрок, затем второй. Если выпало число отличное от единицы, то игрок добавляет себе на счет соответствующее число, если выпала единица, то весь счет обнуляется и игрок дальше бросать кубик не может.
Два вопроса об оптимальной стратегии первого игрока:
— Если игрок может остановиться в любой момент, то набрав сколько очков он должен это сделать?
— Если игрок должен заранее решить, сколько раз бросать кубик, то какое число бросков заказать?»
как обычно, после выхода на бумаге очередного выпуска МатПросвещения — выпуск, вышедший год назад, выкладывается на сайт: https://mccme.ru/free-books/matpros-30.html
Читать полностью…
На торе длина кратчайшей нестягиваемой геодезической оценивается сверху через корень из площади тора.
>>
In the early 80’s, Gromov formulated several remarkable metaphors connecting the systolic inequality to important ideas in other areas of geometry. With the help of these metaphors, he proved the systolic inequality... Each metaphor gives an approach to proving the systolic inequality - a way to get started.
The goal of this essay is to explain Gromov’s metaphors... Gromov’s metaphors connect the systolic problem to the following areas:
1. General isoperimetric inequalities from geometric measure theory. (Work of Federer-Fleming, Michael-Simon, Almgren. Late 50’s to mid 80’s.)
2. Topological dimension theory. (Work of Brouwer, Lebesgue, Szpilrajn. 1900- 1940.)
3. Scalar curvature. (Work of Schoen-Yau. Late 70’s.)
4. Hyperbolic geometry and topological complexity. (Work of Thurston-Milnor. Late 70’s.)
На сайте появился 9-ый номер Кванта за 2023 год:
https://kvant.ras.ru/pdf/2023/2023-09.pdf
Напоминаем, что номера журнала выкладываются на сайте kvant.ras.ru
вот как эта кривая выглядит (два варианта картинки: для четной и для нечетной степени)
Читать полностью…
сегодня в 18:30 в Центральном доме ученых РАН будет заседание
К 110-летию великого математика И.М.Гельфанда (1913–2009)
https://mccme.ru/nir/seminar/
в четверг (21.12) последний в этом году семинар учителей математики
Николай Андреев и друзья. Геометрия: шарнирные механизмы; особенности; картография; модели сезона-2023
как обычно: 19:00, столовая МЦНМО, приглашаются все желающие
https://arxiv.org/abs/2312.10026
Marcelo Campos, Matthew Jenssen, Marcus Michelen, Julian Sahasrabudhe. A new lower bound for sphere packing
Гауэрс комментирует:
«A great preprint appeared on arXiv this morning … — the first improvement by more than a constant factor to the lower bound for sphere packing in large dimensions since 1947.
(…)
The problem is simple: what is the maximum density, even approximately, of a packing of d-dimensional spheres into R^d? It is known exactly for d=1,2,3,8 and 24 (with 3 being a famous result of Tom Hales and 8 a famous result of Maryna Viazovska).
It is easy to get a lower bound of 2^{-d}. You just pick a maximal set of points in R^d that are distance 2 apart. Then the balls of radius 2 about those points cover all of R^d (or you could add a new point). But now you can take each ball and shrink it by a factor of 2, to obtain a ball of radius 1. Those balls are disjoint (since the points are distance 2 apart), and the volume of each one is 2^{-d} times the volume of the corresponding ball of radius 2. Therefore, since we covered all of R^d before the shrinking, we must cover a proportion at least 2^{-d} after the shrinking. (This is a slight oversimplification of the argument, but it can easily be made rigorous.)
Rogers obtained a bound that multiplied this by a factor of 2d/e (where e is just the number e). The constant 2/e has been improved a few times since then, but this paper obtains a bound of d log(d)/2^{d+1}. It is a major open problem whether one can obtain a lower bound of c^d for some c > 1/2. While this improvement to the bound may seem modest, the problem is notoriously hard, and the method very new, so the smallness of the improvement is highly misleading.
An interesting feature of the proof is that the packing it obtains is not one where the spheres are organized into a nice lattice packing. Rather, the proof makes heavy use of random methods, and produces a “disordered” packing. The best known upper bound, of 2^{-cd} where c is approximately 3/5, is due to Kabatjanskii and Levenstein from a paper published in 1978.»
картинки по выходным: парабола на клетчатом полу… и она же окружность
// src: diffgeom/" rel="nofollow">https://mathstodon.xyz/@diffgeom/
повод еще вспомнить статью Дайсона «Упущенные возможности»
(она цитируется и в замечательной статье Д.Фукса для школьников «О раскрытии скобок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде и упущенных возможностях», которая здесь уже упоминалась, кажется)
#математика
Есть такие задачки, решение которых не требует знания сложных теорем, но требует определенной гибкости ума и интеллектуальной настойчивости, — они вызывают азарт и доставляют немалое удовольствие в процессе и по факту их решения )).
Сегодня опубликовали новый ролик с одной такой задачкой:
«По морю с постоянными скоростями прямыми непараллельными курсами идут четыре корабля. Известно, что три из них попарно встретились в море. Известно также, что четвёртый корабль встретился сначала с первым, а потом со вторым кораблём. Докажите, что он обязательно встретится, или встретился раньше, также и с третьим кораблём».
Чтобы задачку решить практически в уме, нужно перейти от плоских траекторий кораблей к их мировым линиям в трехмерном (в данном случае) пространстве, у которого «в основании» — плоскость, в которой движутся корабли, а «по вертикальной оси» — время.
Отличие мировых линий от траекторий в том, что из пересечения траекторий вовсе не следует встреча кораблей, а из пересечения мировых линий — следует.
Чтобы не лишать вас удовольствия, не будем здесь приводить полное решение — его можно найти в ролике.
Более сложный вопрос, над котором предлагаем подумать, такой: справедливо ли утверждение задачи в случае движения кораблей не по плоскости, а по поверхности сферы?
P.S. Кажется, что такого рода задачки (не важно по физике или по математике, важно что у них есть изящное и нетрудоемкое решение, если чуточку подумать) — очень важная составляющая любой хорошей системы обучения. Они привносят в процесс элемент игры.