10419
Немного математики каждый день // для обратной связи: cme.chnl@gmail.com (интересным вещам по теме канала всегда рады; за деньги или за «обмен ссылками» ничего не публикуем)
к 70-летию Бориса Львовича Фейгина — пусть здесь будут такие истории про него: http://www.mathjournals.org/mmj/vol4-3-2004/dedication.html
Читать полностью…
Всем привет! Сегодня мы поговорим с вами о задача, которая известна как "лемма о бензоколонках" (или Raney's lemma). Лемму эту опубликовал George Raney в 1960 году в журнале Transactions of the American Mathematical Society.
В России это утверждение больше известно благодаря публикации в задачнике журнала "Квант" в 1971 году под номером М82. Автором задачи указан читатель С. Охитин из Оренбурга.
Формулировка задачи такая
На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из этих машин может объехать всё кольцо, забирая по пути бензин у остальных машин.
Ее несложно переформулировать с следующем более математическом виде (упражнение)
Даны числа x_1, x_2, ..., x_n с нулевой суммой. Тогда существует циклическая перестановка, для которой все частичные суммы неотрицательны. То есть существует такое k, что x_k⩾0, x_k+x_{k+1}⩾0, x_k+x_{k+1}+x_{k+2}⩾0,... x_k+x_{k+1}+...x_{k-1}⩾0.
Одно из наиболее классических и простых доказательств этого утверждение проводится при помощи индукции. Если машина одна, то в ней достаточно бензина на полный круг. Пусть у нас есть n машин, то можно найти 2 соседние, такие, что из первой можно доехать до второй по часовой стрелке. Уберем вторую и отдадим весь ее бензин первой. По предположению индукции, среди оставшихся n-1 существует одна, из которой можно проехать полный круг по часовой стрелке — она же подойдет и для n в исходной конфигурации.
Однако совсем недавно благодаря каналу Феди П я узнал прекрасное доказательство (которое он в свою очередь узнал от Таи Коротченко) с выпукло-геометрическими мотивами.
Рассмотрим n векторов, полученных из (1,-1,0,0,..,0) циклическими перестановками. Они все лежат в (n-1)-мерной гиперплоскости (сумма координат равна нулю) и являются вершинами симплекса, содержащего начало координат (центр его масс). Луч из начала координат в точку (x_1,...,x_n) пересекает некоторую грань этого симплекса. Сделаем циклическую перестановку так, чтобы эта грань не содержала вершину (-1,0,0,...,0,1). Но все точки (y_1,...,y_n) в этой грани имеют неотрицательные частичные суммы координат, поскольку этим свойством обладают все вершины этой грани, а значит и все выпуклые комбинации.
https://www.ams.org/journals/notices/202311/rnoti-p1831.pdf
Memorial Article for Yuri Manin
https://www.jwilber.me/permutationtest/
если хотели бы не вот это всё, а пасти альпак
(но на самом деле про статистику — “a visual explanation for the permutation test: an awesome nonparametric test that is light on assumptions, widely applicable, and very intuitive”)
в четверг 16.11 в 18:30 в Голубом зале Центрального дома ученых РАН будет заседание секции математики
К 100-летию академика
Игоря Ростиславовича Шафаревича (1923-2017)
заседание ведут С.С.Демидов и В.М.Тихомиров
Официальный канал Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук.
Здесь можно найти информацию о семинарах, конференциях, конкурсах, и других мероприятиях и событиях, связанных с ПОМИ РАН, а также материалы о роли Института и его сотрудников в истории и науке.
✉️ admin@pdmi.ras.ru
🔗 ПОМИ в VK
Полезные ссылки:
📋 Math-Net
📚 Записки научных семинаров ПОМИ
📚 Журнал "Алгебра и Анализ"
🗂 Подразделения
🎓 Научно-образовательный центр
💼 Вакансии
картинки по выходным: теорема Наполеона и ее родствениики из свежего Квантика, https://kvantik.com/issue/pdf/2023-11_sample.pdf
Читать полностью…
https://mccme.ru/nir/seminar/
в четверг (16.11) на семинаре учителей математики Игорь Барышев будет рассказывать про проект “Школы — ассоциированные партнеры Сириуса”
19:00Msk, zoom, подробности на сайте
https://youtu.be/YQzltmJ0hN8
свежие рассказы Концевича
«Gromov-Witten invariants of a smooth projective variety give an infinite tower of cohomology classes on powers of the original variety, satisfying a beautiful system of constraints encoded in the notion of quantum connection.
Recently Hiroshi Iritani proved a result controlling the quantum connection of the blowup along a smooth center. The goal of the course is to introduce a new class of birational invariants based on Iritani's theorem. In particular, one can almost effortlessly prove the non-rationality of a generic cubic 4-fold.»
картинки по выходным: “букет” поверхностей Дини постоянной отрицательной кривизны
// источник: discretization.de
Юлию Сергеевичу Ильяшенко 80 лет.
Пишет канал «непрерывное математическое образование» и приводит интересную статью ЮС про 16 проблему Гильберта.
В мое студенческое время ЮС был знаменит тем, что доказал теорему конечности — число предельных циклов полиномиального векторного поля на плоскости конечно. Эта теорема была доказана (неверно) Дюлаком в 1923, в 1981 ЮС нашел существенную ошибку — оно работало в случаях, когда утверждение о конечности неверно — и через 10 лет с (независимо) Экалем нашел правильное доказательство.
Когда я был студентом, ЮС читал про это спецкурс, в котором излагалось (наверно все же адаптированное) доказательство Дюлака и предлагалось найти ошибку.
А еще раньше ЮС нашел ошибку в работе Петровского и Ландиса, которые решили (неверно) 16 проблему Гильберта.
ЮС многое сделал и делает, про эти нахождения ошибок просто легче всего упомянуть.
https://www-users.cse.umn.edu/~garrett/m/v/sporadic_isogenies.pdf
шпаргалка про исключительные двулистные накрытия ортогональных групп
начинается всё с того, что SU(2) двулистно накрывает SO(3) (это, кстати, дает способ работать с вращениями трехмерного пространства¹, которым пользуются “все”) — но есть и сильно менее известные примеры
¹ ранее на эту тему: /channel/cme_channel/740 и проч.
https://youtu.be/ElFNGh4WF6Y
кажется, здесь еще не было такого видео — Александр Кузнецов рассказывает на закрытии Московской мат. олимпиады про теорему Ферма, гипотезу Римана и алгебраическую геометрию
Клеточки и разрезания по пятницам.
Задача с командной олимпиады проходящего сейчас 61-го Уральского турнира. Задача предлагалась в 8-ом классе под номером 8.
#3. Ацтекский диамант ранга n — это клетчатая фигура «ромбик» из 2n(n + 1) клеток, вдоль каждой «стороны» которого расположено n клеток. При каких n ацтекский диамант ранга n можно разрезать на прямые тетрамино и S-тетрамино (фигурки можно поворачивать и переворачивать)?
#клеточки #разрезания
https://principia.blog/2021/04/26/newton-halley-comets/
https://principia.blog/2021/03/21/newton-and-the-orbit-of-comets/
про Ньютона, орбиты комет и геометрию парабол
(повод — задача /channel/geometrykanal/2199 — которую тоже первым решил Ньютон)
классическое применение леммы Рени — формула для чисел Каталана:
пути Дика можно отождествить с последовательностями из n+1 числа +1 и n чисел -1, все частичные суммы которых положительны — а по лемме Рени последнее условие выделяет 1/(2n+1) часть от всех \binom{2n+1}{n+1} последовательностей (для каждой последовательности подойдет ровно один циклический сдвиг)
про последовательности ±1 с положительными частичными суммами есть также статья Эрдеша и Капланского 1946 года — https://old.renyi.hu/~p_erdos/1946-09.pdf — но там немного другое утверждение и уж совсем другое доказательство (но тоже, кстати, поучительное)
https://johncarlosbaez.wordpress.com/2012/02/05/archimedean-tilings-and-egyptian-fractions/
картинки по выходным — про египетские дроби и регулярные замощения плоскости правильными многоугольниками
к сегодняшнему юбилею Рафаила Калмановича Гордина — пусть здесь будет его недавнее интервью
Читать полностью…
https://cs.hse.ru/seminatfkn/
в пятницу 17.11 на мат. семинаре ФКН М.Н.Вялый будет рассказывать про игры вычитания и полулинейные множества
«Игры вычитания — широкий класс беспристрастных игр. Основной темой рассказа будет алгоритмическая сложность решения игр вычитания. По сути речь идет о сложности вычисления функций, заданных рекуррентными соотношениями особого вида. Известно, что для некоторых игр эта задача трудна, а для некоторых проста. Во втором случае и появляются полулинейные множества — многомерный аналог арифметических прогрессий. Граница между “трудными” и “простыми” играми пока неясна. Будут предложены некоторые гипотезы, уточняющие эту границу.»
https://youtu.be/bUR-rEErviA
https://mathnet.ru/present39810 (и далее по ссылкам)
мини-курс С.О.Горчинского на ЛШСМ-2023 про эллиптические кривые, модулярные формы и Великую теорему Ферма
https://youtu.be/QNznD9hMEh0
большое видеоинтервью Саймонса
От Арнольда знаю такое утверждение: период физического маятника строго монотонно зависит от амплитуды. Даже производная не нулевая. В одном из его экзаменов по обыкновенным дифференциальным уравнениям это (вернее: задача быстро сводящаяся к этой) была самая сложная задача.
Не видал пока молодых математических людей (и сам таким не был), которые могли бы ее быстро решить.
не видел в книжках, чтобы этот факт о монотонности был явно сформулирован - если кто видел — скажите
https://www.quantamagazine.org/the-hidden-connection-that-changed-number-theory-20231101/
свежая Quanta про квадратичный закон взаимности
см. тж. /channel/cme_channel/2252 /channel/cme_channel/2247 и проч.
https://edu.sirius.online/#/course/1569/
оказывается, в Сириус.Курсах есть теперь и курс по анализу
«В рамках курса:
— вы изучите понятие предела последовательности и связанные с ним теоремы (теорему о двух милиционерах и теорему Вейерштрасса);
— познакомитесь с числовыми рядами и понятием непрерывности функции;
— докажете важные теоремы о производной функции (теорему Ферма и теорему Лагранжа);
— выясните, что такое интеграл и в чём суть теоремы Ньютона — Лейбница;
— узнаете о рядах Тейлора и функциях многих переменных.
Курс подойдёт всем старшеклассникам, знакомым с математической индукцией и биномом Ньютона.
Автор курса — Иван Сергеевич Бельдиев.»
Ещё один сюжет — про меры с нулевым центральным показателем Ляпунова.
Есть давний вопрос теории динамических систем: «как ведёт себя типичная динамическая система?». В его понимании за прошедшие лет сто происходило несколько революций.
Когда-то — казалось, что типичная динамическая система «сваливается» в простой предельный режим: стремится к положению равновесия или периодической траектории.
Работы Картрайт, Литтлвуда и Левинсона, открытие подковы Смейла и диффеоморфизмов Аносова в начале 60-ых показали, что бывают неустранимо-хаотичные системы. И это была революция гиперболической динамики.
Типичный пример тут — отображение A=(2,1 \\ 1,1), действующее на торе R^2/Z^2: точка (x,y) переходит в (2x+y,x+y). У матрицы одно собственное значение λ_1 больше 1, второе λ_2 меньше.
Заменой координат на плоскости R^2 матрицу A можно было бы привести к диагональному виду: одна координата умножается на λ_1, вторая на λ_2 — и почти любая пара близких орбит разбегается с экспоненциальной скоростью: разница новых первых координат умножается на λ_1 на каждом шаге. Наоборот, если мы попробуем продолжить траектории в прошлое, траектории тоже будут разбегаться: разница новых вторых координат будет делиться на λ_2 на каждом шаге, и это опять экспоненциальное возрастание.
Произвольная система f:X->X, конечно, совершенно не линейная. Но рядом с любой точкой p можно посмотреть, что происходит «в линейном приближении». А именно, можно взять отображение за n шагов f^n, взять у него [~~производную~~] дифференциал в этой точке
B=df^n |_p,
взять её сингулярные значения µ_j (корни из собственных значений B^* 😎 после чего посмотреть на величины
(1/n) log µ_j
(если бы у нас была линейная динамика, это были бы логарифмы модулей λ_j) и перейти к пределу, когда число итераций стремится к бесконечности. Эти пределы называются показателями Ляпунова.
Соответственно, положительный показатель Ляпунова отвечает экспоненциальному разбеганию траекторий, отрицательный — сближению. Если есть и положительные, и отрицательные показатели — то типичная пара точек разбегается со скоростью, диктуемой наибольшим показателем Ляпунова.
В чисто гиперболическом случае часть показателей Ляпунова положительна, часть отрицательна. И следующий вопрос — а может ли у типичной системы (и у её траекторий) быть не-экспоненциальное поведение? Насколько часто встречаются нулевые показатели Ляпунова? В точности нулевые — нельзя ли их изжить, если чуть-чуть "пошевелить" исходную систему?
Ещё в конце 1990-ых Юлий Сергеевич Ильяшенко и Антон Городецкий придумали стратегию Городецкого-Ильяшенко, которая позволяла строить примеры систем с нужным поведением траекторий (в том числе, в смысле показателей Ляпунова) «контролируемым образом».
А потом, в 2005-ом, мы вчетвером — Юлий Сергеевич, Антон, Максим Нальский и я — построили не разрушающийся малыми возмущениями пример, в котором нулевые показатели Ляпунова присутствовали не только в смысле отдельных траекторий, но и в смысле инвариантных мер. Эту работу мы между собой называли — по первым буквам фамилий — «ГИКН»; недавно коллеги, воспользовавшись анаграммой KING, назвали получающиеся из этой конструкции меры королевскими (royal measures). 🙂
И я помню два момента: когда всё только начиналось, мы сидели на 4-м этаже Независимого, Юлий Сергеевич объяснял нам, что хочется сделать, и у меня была (каюсь!) мысль «но это же не может сработать!». И второй, через несколько месяцев — когда стало понятно, что не просто всё работает, а что в результате получается «эндшпиль с лишними двумя фигурами»: можно довести рассуждение так, можно так, а можно вообще вот эдак, всё равно всё сходится. И это было очень сильно.
С днём рождения, Юлий Сергеевич! Спасибо Вам огромное — и всего Вам самого лучшего!
к юбилею Юлия Сергеевича Ильяшенко — пусть здесь будет его обзор «Столетняя история 16-й проблемы Гильберта» в трудах семинара «Глобус»
Читать полностью…
https://blog.google/products/search/more-help-with-math-and-science-problems-in-search/
гугл анонсировал решение д/з по математике прямо в поиске (но по-русски, кажется, пока не работает)
James Propp написал в сентябрьском Math Horizons решение задачи выше
Читать полностью…
https://youtu.be/dwe4-OiRw7M
https://www.maths.ox.ac.uk/node/65844
свежее видео Numberphile про простые числа про разным модулям, теорему Бомбьери-Виноградова и ее усиления
https://youtu.be/lL9VN8ELH1M
в качестве картинок по выходным — золотое сечение в правильном пятиугольнике и его иррациональность