10419
Немного математики каждый день // для обратной связи: cme.chnl@gmail.com (интересным вещам по теме канала всегда рады; за деньги или за «обмен ссылками» ничего не публикуем)
для повышения наглядности — картинка к последнему примеру
Читать полностью…
задачи обоих дней IMO-2023
Читать полностью…
https://math.ucr.edu/home/baez/six.html
John Baez. Some Thoughts on the Number 6
«There are symmetries of the symmetry group of a 6-element set that don't come from symmetries of that set. This is only true for the number 6. It is a truly amazing property of the number 6, which turns out to be connected to many things…»
https://mccme.ru/free-books/lando/lando-genfunc.pdf
в порядке вольного продолжения предыдущей темы напомним про небольшую книгу С.К.Ландо «Лекции о производящих функциях»
«Предметом нашего исследования будут задачи перечислительной комбинаторики. Они заключаются в подсчете числа объектов, принадлежащих некоторому семейству конечных множеств. (…)
При решении задач перечислительной комбинаторики очень полезно рассматривать производящие многочлены (или, более общо, производящие ряды). (…) Операции с комбинаторными объектами очень естественно выражаются в терминах производящих функций. (…)
Привлечение методов из смежных областей математики (например, из анализа) дает новый взгляд на перечислительные задачи и позволяет находить неожиданные подходы к их решению.»
«Мне хотелось написать простую и доступную книгу, уделив внимание в первую очередь ярким примерам, а не общим теориям (которые, к тому же, зачастую отсутствуют). (…) Предлагаемая вниманию читателей книга написана на основе специального курса, читавшегося студентам Независимого московского университета в 1992–99 гг.»
https://gilkalai.wordpress.com/2023/06/30/alex-cohen-cosmin-pohoata-and-dmitrii-zakharov-improved-the-upper-bound-for-the-heilbronn-triangle-problem/
https://arxiv.org/abs/2305.18253
«The introduction of the paper beautifully presents the rich history of this problem and some developments and connections leading to the new results. Heilbronn asked in the late 1940’s what is the smallest area of a triangle formed by three point in a configuration of n points in the unit square, and Komlós, Pintz and Szemerédi’s (KPS) 1982 paper presented the state of our knowledge until a month or so ago. KPS disproved a conjecture of Heilbronn that there is always a triangle of area O(n^{-2}). As for upper bounds they improved methods by Roth (who wrote a series of papers on the problem from 1950 to 1970), and showed that there is always a triangle of area n^{-8/7}. Using a variety of recent techniques and connections Cohen, Pohoata, and Zakharov improved the exponent.»
https://youtu.be/Cyhqc8l03GE
в качестве картинок по выходным — Henry Segerman и топология плетения браслетов
исходный вопрос на MO: https://mathoverflow.net/q/424215/
https://www.math.leidenuniv.nl/~hwl/PUBLICATIONS/1994c/art.pdf
( https://link.springer.com/article/10.1007/BF03027290 )
P. Stevenhagen & H. W. Lenstra. Chebotarëv and his density theorem
«The fame of the Russian number-theorist Nikolai Grigor'evich Chebotarev (1894-1947) rests almost exclusively on his proof, in 1922, of a conjecture of Frobenius, nowadays known as Chebotarev density theorem. Algebraic-number-theorists have cherished the theorem ever since, because of both its beauty and its importance.
In the present article we introduce Chebotarev and his theorem. Drawing upon Russian sources, we describe his life and the circumstances under which he proved his density theorem. Two characteristic examples are given to illustrate the nature of his other work. Next we explain the content of his theorem, reducing to a minimum the specialized terminology in which the theorem is usually couched. We shall see that the key idea of Chebotarev's proof enabled Artin to prove his reciprocity law; in fact, had history taken a slightly different course, then Chebotarev would have proven it first. For the connoisseur, we give, in an appendix, a paraphrase of Chebotarev's proof of his density theorem. It uses no class field theory, and it is appreciably more elementary than the treatment found in current textbooks.»
В конечной группе xy=yx для >90% пар (x,y). Доказать, что эта группа коммутативна.
(via А.Шень)
Stephen H. Schanuel. What is the length of a potato?
«The question in the title probably sounds a bit peculiar; but I hope to persuade you that it has a unique sensible interpretation (…). But my real goal is more ambitious: I hope to reform your intuition about geometry, to get you to incorporate into your picture of Euclidean geometry the sweeping changes in fundamental notions stemming from the work of Euler, Gauss, Riemann, Minkowski, and many others.»
https://youtu.be/B1J6Ou4q8vE
в качестве картинок по выходным — мультфильм с математическими мотивами
The date 23 June 2023 marks exactly thirty years since Sir Andrew Wiles announced his historic first proof of Fermat’s Last Theorem. // https://www.newton.ac.uk/news/ini-news/wiles-flt-30/
Читать полностью…
https://mathenchant.wordpress.com/2021/01/16/my-life-with-aztec-diamonds/
J.Propp про ацтекский брильянт и всё такое
Если вы хотели, но ещё не успели оформить подписку на «Квантик», это можно сделать сейчас!
Сегодня, 20 июня, — именно тот день, когда можно успеть подписаться на второе полугодие 2023 года ЦЕЛИКОМ
Для оформления подписки переходите по ссылке:
podpiska.pochta.ru/press/ПМ068
#подписканаквантик
https://roywilliams.github.io/play/js/sl2z/
(интерактивные) картинки по выходным — про действие группы SL₂(Z) на верхней полуплоскости
упомянутый конспект лекций Хопфа выложил на своем сайте Хатчер: https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/Other/otherbooks.html
Читать полностью…
/channel/mathtabletalks/4292
коллега Клепцын обратил внимание на то, что в задаче 5 IMO-2023 на удивление хорошо работает вероятностная оценка:
будем выбирать случайный путь, делая шаг вправо-вниз из k-го круга на n-м этаже с вероятностью¹ k/(n+1) — тогда на каждом этаже вероятности попасть в любой из кругов одна и та же (проверьте!)
тогда матожидание числа задетых красных кругов равна 1+1/2+1/3+…+1/n, т.е. примерно ln(n) — значит, для любого треугольника существует путь, который проходит через ~ln(n) красных кругов
и эта оценка не далека от точной: разделим этажи на группы, в каждой группе этажи с номерами 2^(m-1),…,2^m-1, красным отмечены шары с номерами 1, 3, 5… — тогда любой путь проходит в каждой группе максимум по одному красному кругу, т.е. всего через ~log(n) красных кругов
===
¹ Такой случайный процесс — это урна Пойа (в начале в урне один шар «L» и один шар «R», на каждом шаге мы вытаскиваем из урны случайный шар, делаем в соответствии с ним ход, возвращаем в урну две копии такого шара). Про нее, и про другие модели с подкреплением рассказывал В.Клепцын на ЛШСМ-2018, https://mccme.ru/dubna/2018/courses/kleptsyn.html
https://artofproblemsolving.com/community/c3381519_2023imo
задачи 1 дня международной математической олимпиады-2023
https://youtu.be/yYba0TBUXs4
а вот, кстати, свежее видео про производящую функцию для чисел Фибоначчи
Всем добрый день!
Вчера практически случайно обнаружил, что вот этой замечательной штуки почти никто из ФБ-читателей группы "Математические задачи и головоломки" не знает.
Смотрите.
1/998999 =
0, 000 001 001 002 003 005 008 013 021 034 055 089 144 233...
Сможете объяснить, почему так получается?
> Арнольдовская лекция — Иван Панин. Многозначные отображения и их применения
https://www.mathnet.ru/present31618 (и далее по ссылкам) мини-курс Ивана Панина на ЛШСМ-2021 на те же темы
> В конечной группе xy=yx для >90% пар (x,y). Доказать, что эта группа коммутативна.
Предлагается два разных решения.
Ключевая идея первого решения: в собственной подгруппе не может быть больше половины элементов группы (потому что порядок подгруппы делит порядок группы).
Например, если x коммутирует более чем с половиной элементов группы, то он коммутирует вообще со всеми элементами (все игреки, с которыми коммутирует этот x, образуют подгруппу).
Итак, если группа не коммутативна, то не больше 1/2 ее элементов лежит в центре (коммутируют со всеми элементами), а каждый x не из центра коммутирует не более чем с 1/2 игреков — всего не больше 1/2+1/2×1/2=3/4 коммутирующих пар.
Оценку можно усилить, если заметить, что группа G/Z не может быть циклической (иначе G порождалась бы центром и еще одним элементом — и была бы коммутативной). Значит, в G/Z хотя бы 4 элемента, а всего доля коммутирующих пар в некоммутативной группе не больше, чем 1/4+3/4×1/2=5/8.
Оценка 5/8 уже точная: она достигается, например, для группы кватернионов {±1,±i,±j,±k}.
Ссылки с развитием сюжета есть, например, в https://johncarlosbaez.wordpress.com/2018/09/16/the-5-8-theorem/
Второе решение удивительно тем, что не использует вообще никакой теории групп.
Возьмем произвольные элементы x и y и каждый разложим случайным образом в произведение двух: x=x₁x₂, y=y₁y₂. Убедимся, что с ненулевой вероятность все x_i коммутируют со всеми y_j — тогда и x с y коммутируют.
Ну действительно, по условию x₁ и y₁ коммутируют с вероятностью хотя бы 1-ε и аналогично для остальных трех пар. Значит, все 4 пары одновременно коммутируют с вероятностью хотя бы 1-4ε.
Это рассуждение работает пока ε<1/4 (т.е. доля коммутирующих пар больше 3/4). Но может быть кто-то сможет придумать вариацию, которая доказывает и “теорему о 5/8”?..
Если задачу уже получилось решить (попробуйте, она не сложная и приятная), то можно подумать, например, на какое число можно заменить 90%.
А ссылки и проч. будут через пару дней
Об истории возникновения понятия сопряженных функторов
Недавно Эммануэль Фарджун приехал ко мне в гости в Пекин. Мы с ним много работали над одной темой, и в какой-то момент я сказал, что нам нужно придумать хороший термин для одного из понятий, которое мы решили подробнее изучить. Он сказал, что да, хорошие термины очень важны, и рассказал мне историю про то, как его учитель Дан Кан изобрел понятие сопряженного функтора.
Дан Кан защитил свою докторскую диссертацию Еврейском университете Иерусалима в 1955 и после этого поехал работать постдоком в Колумбийский университет в Нью-Йорк. Там он ходил на лекции Эйленберга по теории категорий. Эйленберг на своих лекциях как-то раз сказал, что для векторных пространств хом более фундаментален, чем тензорное произведение, потому что он имеет категорный смысл. Кан не согласился с этим высказыванием Эйленберга. Он считал, что они одинаково важны. Но Эйленберг продолжал настаивать. Через некоторое время Кан пришел к Эйленбергу с доказательством того, что эти два функтора взаимно однозначно определяют друг друга в некотором категорном смысле. Эйленберг признал, что он не прав. Так возникло понятие сопряженных функторов, которое мы теперь встречаем на каждом шагу. Кан считал, что это понятие стало популярным очень быстро из-за удачно выбранного термина.
Википедия говорит, что понятие сопряженного функтора было введено Каном в 1958 году. Статья действительно была опубликована в 1958 году, но в ней написано, что она была получена в редакцию в 1956 году.
PS. Предыдущая версия этого поста была полностью неверной, мне стыдно. Эммануэль в этой инстории никак не участвовал, ему было 12 лет в это время. Когда он мне рассказывал лично, я так и понял. Но текст, который он прислал мне позже на емэйл, ввел меня в заблуждение, поэтому я не буду его публиквать.
Тао пишет про мультфильм выше:
<…> I commented on <some paper>: «It’s hard to describe (especially in lay terms) the experience of reading through (and finally absorbing) the sections of this paper one by one; the best analogy I can come up with would be watching an expert video game player nimbly navigate his or her way through increasingly difficult levels of some video game, with the end of each level (or section) culminating in a fight with a huge “boss” that was eventually dispatched using an array of special weapons that the player happened to have at hand.» I now have an appropriate visual aid to illustrate this experience.
https://youtu.be/6iTdNmDHfV0
Mathologer про формулу Рамануджана
// ранее на ту же тему: /channel/cme_channel/1924
http://kvant.mccme.ru/1982/01/mnogochleny_chebyshyova_i_reku.htm
Широко распространен взгляд на математика как на человека, беспрерывно занимающегося сложнейшим арифметическими вычислениями (в более утонченном варнанте выписываюшего и преобразующего длинные и сложные формулы). Читателям «Кванта» хорошо известно, что бывает красивая и важная математика «без формул», однако доля истины в таком взгляде все же есть. (…) В этой статье мы рассмотрим каскад любопытных формул, связанных со знаменнтой последовательностью «многочленов Чебышева» (…), а также общие математические идеи, которые стоят за ними.
Н.Васильев, А.Зелевинский. Многочлены Чебышёва и рекуррентные соотношения (Квант №1 за 1982 год)
Учебный 2022/2023 год подошёл к концу. За этот сезон раздел «Этюды» сайта «Математические этюды» https://etudes.ru/ пополнился тремя большими сюжетами, а раздел «Модели», где собирается энциклопедия наглядных моделей по математике, – более чем 30 идеями.
В разделе «Этюды» выделим сюжет «Графический рисунок: математические особенности» https://etudes.ru/etudes/drawing-singularities/, с появлением которого сформировался отдельный раздел «Особенности» singularities" rel="nofollow">https://etudes.ru/etudes/@singularities .
В разделе «Модели» напомним про сюжет «Окружности Вилларсо» https://etudes.ru/models/Villarceau-circles/ ; интересные вопросы в рассказе «Фигура Земли» https://etudes.ru/models/Earth-figure/ ; сюжет «Плотнейшая упаковка шаров» https://etudes.ru/models/spheres-closest-packing/ , тематически связанный с одной из медалей Филдса 2022 года; и бумажную модель «Лист Мёбиуса: зацепленные сердца» https://etudes.ru/models/Mobius-linked-hearts/ , которую можно сделать даже с самыми маленькими.
По традиции, «Математические вторники» https://vk.com/wall-192547232_4 возобновятся уже в начале следующего учебного года. А чтобы не скучать летом, предлагаем вспомнить и другие сюжеты сайта «Математические этюды» https://etudes.ru/, полистать книгу «Математическая составляющая» https://book.etudes.ru/ (можно скачать полную pdf-версию), а также напомним про лучший научно-популярный журнал «Квантик». Сегодня ещё не поздно подписаться на всё второе полугодие 2023 года https://podpiska.pochta.ru/press/ПМ068 , а электронный архив журнала https://kvantik.com/archive/ доступен всегда!
https://en.wikipedia.org/wiki/Kerala_school_of_astronomy_and_mathematics
про индийскую математику XIV-XVI веков (пишут про разложение в ряды триг. функций в стихах и проч.)
ранее на тему того же факта: /channel/cme_channel/2544 (там обсуждается также неевклидова версия)
Читать полностью…
Конспект лекций Хопфа я нашел потому, что искал теорему, обобщающую "сумма углов треугольника равна пи", на случай другого числа измерений.
Такое обобщение есть и не одно, например (в трехмерном пространстве) "сумма всех телесных углов, двойственных к телесным углам при вершинах выпуклого многогранника равна 4пи".
Кажется, это самое простое обобщение. Мне повезло задуматься "по другому" про то, что происходит, и я получил такое утверждение: сопоставим тетраэдру два числа -- сумму телесных углов при вершинах и сумму двугранных углов при ребрах. Тогда некоторая (сейчас скажу какая) линейная комбинация этих чисел есть что-то "хорошее".
И эту теорему открыл J.-P. Gua de Malves (1713-1785), родившийся в Каркасоне. Ее точная формулировка такова: сумма телесных углов тетраэдра равна удвоенной сумме двугранных углов при ребрах минус 4пи.
Красивая (в изложении Хопфа) и простая теорема, какой геометрия и должна (часто) быть. Она приведена уже на 1-2 страницах конспекта лекций Хопфа!
Теорема эта имеет многомерное обобщение (приведенное Хопфом), которое (как я понял) сейчас можно сформулировать так: интеграл некоторой функции по эйлеровой характеристике по n-мерному тетраэдру равен нулю.
Интегрирование по эйлеровой характеристике полезно и красиво и много где встречается, и чем раньше его узнаешь тем лучше.
Что мы интегрируем? такую функцию: значение которой в точке симплекса равно отношению площади пересечения (n-1)-мерной достаточно малой сферы с центром в этой точке и симплекса (это числитель) и площади всей этой достаточно малой сферы с центром в этой точке (это знаменатель). Геометрический смысл этой функции -- доля пространства занятого симплексом рядом с точкой. Эта функция постоянна на каждой грани симплекса. В случае треугольника в вершине этого треугольника она равна углу при вершине, деленному на 2пи, в точке на стороне треугольника она равна 1/2, во внутренних точках она равна единице.
Что значит "проинтегрировать по эйлеровой характеристике" в нашем случае -- взять значение на каждой грани и умножить его на минус единицу в степени размерность этой грани и сложить все эти числа по всем граням. В случае треугольника на плоскости -- три нульмерных грани -- вершины, три одномерных -- стороны, одна двумерная -- треугольник без границы. И должен получиться ноль: сумма углов деленная на 2пи минус 3/2 плюс 1 равна нулю. Значит сумма углов равна пи. В трехмерном случае получится, если я не напутал, теорема de Malves.
За "интегрирование по эйлеровой характеристике" мы благодарны О.Я. Виро (80-е). Мы часто интегрируем по эйлеровой характеристике не задумываясь, что делаем именно это.