10419
Немного математики каждый день // для обратной связи: cme.chnl@gmail.com (интересным вещам по теме канала всегда рады; за деньги или за «обмен ссылками» ничего не публикуем)
Условия 1 дня всеросса 2025
Читать полностью…
Однажды я присутствовал на докладе одного методиста, который объяснял, как учить детей делить дробь на дробь.
Он рассказал, что правило было сформулировано, после чего он прорешал для детей в качестве примеров несколько задач такого рода. Затем порешали примеры дети, а потом им была дана контрольная письменная работа. И в этой контрольной письменной работе почти все сделали одну типичную ошибку. Они, в некоторых случаях, и все в одних и тех же, почему-то не переворачивали дроби, а просто перемножали – в некоторых случаях сначала переворачивали, а в других нет.
(…) Причина ошибки заключалась в том, что в примерах, которые предлагались детям до контрольной, вторая дробь всегда была правильная. Дети и усвоили из этих примеров, как надо действовать. Так они и действовали.
(…)
То обстоятельство, что дети в этом возрасте должны научиться понимать правило и пользоваться этой формулировкой, а вовсе не примерами, которые им были показаны, — это обстоятельство совершенно ускользнуло от этого методиста и от всех других, присутствовавших на его лекции.
Мне представляется зловредным заблуждением то, что сразу после формулировки даются примеры. Мне кажется совершенно несомненным, что дети должны сами, руководствуясь правилом, данным правилом, просчитывать первые примеры. Конечно, они должны приобрести навыки и дальше делать это автоматически, но ценнейшее обстоятельство, которое здесь имеется, то обстоятельство, что дети на этом примере могут научиться и должны научиться понимать формулировку, было упущено.
https://math.hse.ru/announcements/1034864253.html
16, 23, 30 апреля пройдут дистанционные лекции А.Г.Хованского на тему «Топологическая теория Галуа, алгебраическая геометрия и выпуклая геометрия»
по содержанию можно ориентироваться на анонс https://pantheon.math.berkeley.edu/about/upcoming-events/lecture-series/chern-lectures/2024-2025-chern-lecture — но сейчас лекции будут на русском языке
зум-ссылка — elsewhere
https://gilkalai.wordpress.com/2025/04/09/boaz-klartag-striking-new-lower-bounds-for-sphere-packing-in-high-dimensions/
https://arxiv.org/abs/2504.05042
новости упаковки шаров в пространстве произвольной размерности
Теорема Акса-Гротендика и ультрафильтры.
1/2
Гриша Папаянов мне тут интересную тему рассказал. Есть такая теорема Акса-Гротендика, которая говорит, что любое инъективное полиномиальное отображение из n-мерного комплексного пространства в себя
ℂ^n → ℂ^n
сюръективно.
Интересна мне эта теорема не сама по себе, а методом доказательства, который рассказал мне Гриша, и которое можно найти по ссылке. Это абсолютно прозрачное доказательство, в котором используются конечные поля и ультрафильтры.
В доказательстве используется понятие фильтра, ультрафильтра, ультрапроизведения и предложения первого порядка, которые я напомню в следующих скрытых кусочках и гиперссылки сделаю (если знаете, можно не читать).
Фильтры.
Фильтр на множестве X — это такое множество F подмножеств X, что выполняются следующие аксиомы:
1) пустое множество не является элементом F;
2) F замкнуто относительно конечных пересечений;
3) F замкнуто относительно взятия надмножеств,
то есть если A ∈ F и A⊆B⊆X, то B ∈ F.
Например, окрестности какой-то точки в топологическом пространстве образуют фильтр. А ещё, если X бесконечно, то дополнения конечных множеств образуют фильтр.
Ультрафильтры.
Фильтры образуют упорядоченное множество по включению. Ультрафильтр — это максимальный по включению фильтр. Эквивалентно можно определить ультрафильтр как фильтр F, у которого для любого подмножества A⊆X, либо A∈F, либо X\A∈F.
Например, для любого x_0 ∈ X, все подмножества содержащие x_0, образуют ультрафильтр. Такие ультрафильтры называются главными. Если X конечно, то все ультрафильтры главные. Все остальные ультрафильтры явно не строятся, а строятся при помощи следующего утверждения, которое доказывается при помощи леммы Цорна: для любого фильтра существует ультрафильтр, который его содержит. В частности, для фильтра дополнений конечных множеств есть ультрафильтр, который его содержит, и он не главный.
Ультрапроизведение.
Если есть семейство множеств (X_i)_{i∈I}, проиндексированное множеством I, и задан ультрафильтр F на I, то можно взять произведение этого семейства и профакторизовать по такому отношению эквивалентности: два элемента произведения x,y эквивалентны, если
{ i : x_i = y_i } ∈ F.
Фактор произведения по этому отношению эквивалентности называется ультрапроизведением этого семейства.
Когда все X_i равны, то это называется ультрастепенью. Например, гипервещественные числа из нестандартного анализа — это ультрастепень поля вещественных чисел относительно не главного ультрафильтра.
Предложения первого порядка.
Предложение первого порядка для колец — это, грубо говоря, утверждение про кольцо, записанное в кванторах в терминах элементов этого кольца и их произведений, сумм, с использованием единицы и нуля в качестве выделенных элементов. Без использования вспомогательных множеств типа натуральных чисел, без использования подмножеств, или функций. Все переменные только из кольца. Строгое определение можно почитать в википедии. Например, свойство кольца быть коммутативным можно выразить при помощи предложения первого порядка. И свойство быть полем тоже. И свойство о том, что любой многочлен данной степени n имеет корень тоже. Но, например, свойство иметь счётную мощность, или какое-то фиксированное число порождающих, нельзя выразить как предложение первого порядка. Предложения первого порядка могут быть определены для любой сигнатуры. Это всё из теории моделей.
Фундаментальная теорема об ультрапроизведениях (Теорема Łoś'a) говорит, что если у вас есть семейство моделей X_i над какой-то сигнатурой, и какое-то предложение первого порядка, то оно выполняется для их ультрапроизведения относительно ультрафильтра F тогда и только тогда, когда множество индексов i, что оно выполняется для X_i, лежит в F.
В частности, если какое-то предложение первого порядка верно для всех X_i, то оно верно и для их ультрапроизведения.
Отсюда получаем, что ультрапроизведение полей — это поле. И ультрапроизведение алгебраически замкнутых полей — это алгебраически замкнутое поле.
2025 New Horizons in Mathematics Prize:
Ewain Gwynne — for contributions to conformal probability, in particular to the understanding of the LQG metric
John Pardon — for contributions to symplectic topology and other areas of geometry and topology
Sam Raskin — for contributions to the geometric Langlands program, including the theory of the Whittaker model and the proof of the geometric Langlands conjecture in characteristic 0
в качестве картинок по выходным — примеры самоподобия из последнего Кванта (№2 за 2025 год; В.Кириченко и В.Тиморин)
https://kvant.mccme.ru/pdf/2025/2025-02.pdf
А вы знаете про альтернативную формулу решений квадратного уравнения?
Вместо "минус бэ плюс-минус корень... поделить на два а", в ней "2це поделить на минус бэ минус-плюс корень...".
Ну, разобраться в том, что она дает ровно те же два решения, не очень тяжело.
Почему там "минус-плюс" в знаменателе, тоже не бином Ньютона: суть в том, что один и тот же корень получается, если в первоначальной формуле взять плюс, а в этой минус. И наоборот, если в обеих взять плюс, то выйдут два разных корня, в общем случае.
Но вот зачем это все надо? Те, кто знают, уже усмехаются и кивают, а я расскажу.
Это нужно, если обычная формула заставляет сделать "катастрофическое сокращение". Что такое катастрофическое сокращение, спросите вы? Это когда мы делаем вычитание двух чисел, очень близких друг к другу. Из-за того, как вещественные числа записываются в памяти компьютера (вспоминайте эти странные слова: мантисса... экспонента...), происходит потеря точности.
Например, если b очень большое в сравнении с a,c, то получится, что дискриминант sqrt(b^2-4ac) очень близок по значению к b. Тогда операция -b+sqrt(D) потеряет почти все значащие биты в представлениях b и sqrt(D). Мы получим какое-то решение, но оно легко может на 10-20% отличаться от истинного. А второе решение, где берется минус, будет в порядке.
Тут-то и пригождается альтернативная формула: где в обычной минус, в ней плюс и наоборот. Тот же корень она позволит вычислить с гораздо большей точностью.
Все старое опять становится новым. Когда-то в 70-х и 80-х годах прошлого века, такие трюки были обыденным делом для программистов. Потом мы все привыкли к 64-битным вещественным типам и обленились, хотя конечно эксперты в определенных областях знали и это и гораздо более продвинутые техники численного анализа. А сейчас в нейронных сетях один из главных трендов - снижение точности до 32- и 16-битных представлений, чтобы выиграть скорость и память на миллионах и миллиардах параллельных операций внутри GPU. Не то чтобы с 64-битными числами не надо никогда следить за точностью, но в 32- и 16-битных эта проблема опять выходит на передний план.
π и e появляются вместе в замечательной асимптотической формуле Стирлинга для факториала,
n! ~ √(2πn) (n/e)^n
в приложении обсуждение разных доказательств этого утверждения
(via А.Устинов)
https://mccme.ru/dubna/2025/inform1.htm
Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда в этом году пройдет в Дубне с 19 по 30 июля. Принимаются заявки от школьников 10 и 11 классов и студентов I и II курсов.
Можно посмотреть видеозаписи курсов прошедших школ https://mccme.ru/dubna/courses/ — и брошюры, написанные по мотивам некоторых из них https://mccme.ru/dubna/books/
Coarsebook. Я часто тут упоминаю грубую геометрию, и читаю по ней курс в НМУ. Так получилось, что последние несколько лет она у меня в центре научных интересов. И хотя у меня пока нет полноценных опубликованных работ по ней (но думаю, что уже скоро-скоро 😊), я решил не оттягивать и выложить наконец-то конспект лекций, известный в узком круге моих падаванов как coarsebook.
Несколько моментов.
1. На вопросы про приложения мне ответить сложно. Наука довольно молодая, и конкретных applications покамест нет. Но я абсолютно уверен что они будут.
2. Отцам основателям (Ю, Роу, Новак, Громов и другие) она была нужна в контексте грубой гипотезы Новикова. Зачем: не важно. На мой взгляд грубая геометрия давно уже вышла за рамки этой гипотезы и в целом является очень удачным языком и способом описания много каких других результатов. К примеру понятие роста группы намного яснее, если его обсуждать с грубой точки зрения.
3. Несколько итераций назад, книга была гораздо более похожа на книгу Роу, чем сейчас. Хотя влияние безусловно ощущается и сейчас.
4. Я буду очень признателен за присланные опечатки, ошибки и даже просто за замечания типа "там-то и там-то нихрена не понятно". Присылать лучше всего в бот @ForodirchBot — мне так будет их проще обрабатывать.
Идеальный формат присланной опечатки: стр N, строка K (сверху\снизу), написано "малако", нужно "молоко".
Если кому-то кажется, что где-то нужна та или иная иллюстрация — вам скорее всего не кажется. За идеи иллюстраций (в идеале за сами картинки или хотя бы эскизы) — буду очень благодарен отдельно.
5. О дальнейшей судьбе. Вероятнее всего, "будем публиковать" в МЦНМО. Месяц назад текст мне казался совершенным, сейчас не кажется 😊 Так что дорабатываю.
Ну и вообще, я буду рад отзывам и комментариям. Содержательно хвалебным — безусловно, но и критическим комментариям мои уши также открыты.
по касательной к предыдущему — пусть здесь будет рассказ Г.Кошевого на семинаре «Глобус» про его точку зрения на кристаллическую комбинаторику
Читать полностью…
https://abelprize.no/abel-prize-laureates/2025
премию Абеля 2025 года получает Масаки Касивара за D-модули и кристаллы
https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/LEC.pdf
J.S.Milne. Lectures on Etale Cohomology
картинки по выходным — из статьи «Visualising the arithmetic of imaginary quadratic fields» (Katherine E. Stange)
«We study the orbit of R∪{∞} under the Bianchi group PSL_2(O_K), where K is an imaginary quadratic field. The orbit, called a Schmidt arrangement S_K, is a geometric realisation, as an intricate circle packing, of the arithmetic of K. This paper presents several examples of this phenomenon…»
https://dacox.people.amherst.edu/lectures/newton.pdf
David A. Cox. Newton's Method, Galois Theory, and Something You Probably Didn't Know About A_5 (слайды)
https://www.mathnet.ru/rus/aa339
А.В.Пухликов, А.Г.Хованский. Теорема Римана–Роха для интегралов и сумм квазиполиномов по виртуальным многогранникам (1992)
«Работа посвящена доказательству теоремы (называемой авторами теоремой Римана–Роха), связывающей интеграл и целочисленную сумму квазиполинома по выпуклой цепи из некоторого семейства. Показано, что существует линейный дифференциальный оператор (оператор Тодда), переводящий интеграл в сумму. Это дает многомерное обобщение известной формулы Эйлера–Маклорена. »
На отрезке AB отметили точку X так, что AX:AB=1:10. После этого отрезок AB разделили на 2^10 равных частей. В каком отношении точка X делит ту часть, на которую попадает?
2/2
Дальше при помощи этого всего добра доказываем теорему Акса-Гротендика.
Можно задаться вопросом, для каких полей F утверждение
"любое инъективное полиномиальное отображение из F^n в себя сюръективно"
верно?
Заметим, что если фиксировать n и степени всех n полиномов от n переменных, то это утверждение можно записать в виде предложения первого порядка.
Для конечных полей F это утверждение верно.
Если K_p — алгебраическое замыкание поля из p элементов, то из того, что любое его конечно порождённое подполе конечно, тоже получается, что это верно.
Значит оно верно и для ультрапроизведения K всех K_p по всем p относительно не главного ультрафильтра на множестве простых чисел.
Это ультрапроизведение K, так же как и все сомножители, является алгебраически замкнутым полем. И его характеристика равна нулю.
Обычное произведение всех K_p, понятное дело, имеет континуальную мощность. Можно показать, что и ультрапроизведение K имеет континуальную мощность. Это обычная задачка на теорию множеств: (Для этого достаточно заметить, что есть континуальное семейство функций ℕ → ℕ, разные члены которого совпадают только на конечном числе элементов. Чтобы построить такое семейство, нужно для каждой последовательности
a : ℕ → {0,1}
определить функцию
f_a : ℕ → ℕ
по формуле
f_a (n) = a(0)*2^0 + a(1)* 2^1 + ... +a(n)*2^n.)
Теорема Штайница говорит, что любое алгебраически замкнутое поле характеристики ноль и континуальной мощности изоморфно полю комплексных чисел. То есть K изоморфно ℂ. Теорема доказана.
https://mast.queensu.ca/~murty/murty.pdf
M.Ram Murty. Prime Numbers and Irreducible Polynomials
с подачи А.С.Штерна в разных местах обсуждают такую теорему:
запишем число цифрами — в 10-чной, например, системе счисления — и заменим 10 на x
оказывается, если число было простым, то и многочлен будет неприводим в Z[x]
вот по ссылке популярная статья про это
Breakthrough Prize in Mathematics 2025 получает Денис Гайцгори за центральную роль в доказательстве геометрической гипотезы Ленглендса
https://breakthroughprize.org/News/91
«For foundational works and numerous breakthrough contributions to the geometric Langlands program and its quantum version; in particular, the development of the derived algebraic geometry approach and the proof of the geometric Langlands conjecture in characteristic 0.»
https://mccme.ru/nir/seminar/
в четверг (10.04) на семинаре учителей математики Дмитрий Калинин будет рассказывать о тестовой олимпиаде 4 класса в школе 57
как обычно: 19:00, столовая МЦНМО, приглашаются все желающие
Для пространства X рассмотрим конфигурационное пространство
F_n(X) := {(x1,..,xn) ∈ X^n: xi ≠ xj при i≠j},
("его точки — упорядоченные наборы n частиц, бегающих по X").
Часто также пишут Conf_n(X) вместо F_n(X), а пространство неупорядоченных наборов обозначают C_n(X) := Conf_n(X) / S_n. Буква F происходит от фамилии Fadell; это я узнал из обзора, который написал Kallel.)
Разумная гипотеза: если M и N — гомотопически эквивалентные многообразия, то F_n(M) и F_n(N) — тоже. (то есть "F_n(M) — гомотопический инвариант многообразия M")
Частичные подтверждения:
(1) Levitt, 1995: ΩF_n(M) — гомотопический инвариант. Если M 2-связно, то F_2(M) — гомотопический инвариант.
(2) Aouina-Klein, 2003: если M — r-связное d-мерное, то
Σ^N F_n(M) — гомотопический инвариант при N-2>(n-2)d-r.
Опровержение:
(3) Longoni-Salvatore, 2004: рассмотрим линзовые пространства M=L(7,1) и N=L(7,2). (Это гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные замкнутые трехмерные многообразия; оба — факторпространства S^3 по Z/7Z). Тогда F_n(M) и F_n(N) не гомотопически эквивалентны. При n=2 доказывается так:
односвязное накрытие над F_2(M) гомотопически эквивалентно букету шести копий S^3 x S^2;
односвязное накрытие над F_2(N) имеет нетривиальные произведения Масси в когомологиях.
https://xkcd.com/3023/
к 1 апреля — формула, связывающая пи и e
в качестве картинок к (прошедшим) выходным: графы Кэли группы диэдра и ее родственника ( https://en.wikipedia.org/wiki/Quasidihedral_group )
Читать полностью…
«Масаки Кашивара придумал кристаллы — это цветные ориентированные графы, у которых ребра покрашены некоторым множеством цветов, без монохромных циклов и в которых выполняются некоторые условия на «взаимодействия» ребер разного цвета с общей вершиной. В этом классе кристаллов находятся так называемые регулярные кристаллы, которые соответствуют интегрируемым представлениям соответствующих алгебр. Для каждой (классической) картановской матрицы, регулярные кристаллы образуют тензорную категорию, изоморфную категории представлений соответствующей (классической алгебры) алгебры Каца–Муди. Кристаллы — это комбинаторные «скелеты» представлений, на которых можно отвечать на многие вопросы теории представлений, используя комбинаторику.
Я расскажу про элементарную конструкцию кристаллов Кашивары типа A и как ее можно использовать для некоторых фундаментальных конструкций в комбинаторике, таких как соответствие Робинсона–Шенстеда–Кнута, правило Литтлвуда–Ричардсона, инволюции Шютценберже и многие другие. Этот новый взгляд мы развивали совместно с В.И.Даниловым.»
https://arxiv.org/abs/0810.4875
P.Schapira. Masaki Kashiwara and Algebraic Analysis
«Recall that Masaki’s work covers many fields of mathematics, algebraic and microlocal analysis of course, but also representation theory, Hodge theory, integrable systems, quantum groups and so on. (…) In each of the domain he approached, Masaki has given essential contributions and made important discoveries, such as, for example, the existence of crystal bases in quantum groups. But in this talk, I will restrict myself to describe some part of his work related to microlocal and algebraic analysis.»
https://turgor.ru/problems/46/vs-46-baz-avt.pdf
https://turgor.ru/problems/46/vs-46-sl-avt.pdf
опубликованы задачи весеннего Турнира городов
https://mccme.ru/nir/seminar/
на семинаре учителей математики в четверг (27.03) Эмма Акопян будет рассказывать 1) про задачи по комбинаторике; 2) про групповые формы работы на уроке математики
как обычно: 19:00, столовая МЦНМО, приглашаются все желающие
https://mccme.ru/dubna/2024/notes/timorin-notes.pdf
новая, расширенная версия записок В.А.Тиморина про инварианты равносоставленности в геометрии и динамике (по его курсу на ЛШСМ-2024)