10419
Немного математики каждый день // для обратной связи: cme.chnl@gmail.com (интересным вещам по теме канала всегда рады; за деньги или за «обмен ссылками» ничего не публикуем)
…So, somewhat in desperation, I lay on the floor, closed my eyes and tried to imagine _being_ the plane being rotated. I imagined the base point being moved in the x-direction, and rolled accordingly; then in the y-direction. With this, I was able to figure out that if I could find a rotation matrix depending on both time and space whose derivatives behaved in a certain way, then I could find my good change of variables and solve the problem. (In retrospect, I was trying to flatten a connection by choosing an appropriate gauge.)
Miraculously, the algberaic form of the equation was such that a natural choice of gauge that did nearly flatten everything was evident. (…) After some frenzied calculations with pen and paper, I was able to get a plan to solve my problem, and then write the paper. (Which actually ended up earning me a Bocher prize.)
I was visiting my aunt in Australia at the time, and she managed to walk in on me while I was rolling around on the floor with my eyes closed. In the grand scheme of things, not the most embarrassing situation to be in, but I am not sure how satisfied she was by the explanation that I was “thinking about math”. In a strange way, though, my profession can occasionally benefit from our reputation for eccentricity; she did not ask any further questions.
пусть f и g — независимые случайные величины, равномерно распределенные на [0;1]
задача: объяснить, почему max(f,g) распределена как √f
решение от 3b1b: https://youtu.be/Pny70rNPJLk
https://education.tbank.ru/school/events/sbory_math/
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1eqso0nRFraS2ZjH185mCJVm2Qh_EVAKh74g6EQt6WM4/edit
Т-банк организует серию мат. занятий для школьников («бесплатный онлайн-интенсив к муниципальному этапу ВсОШ»). Проводят занятия Г.Вольфсон, О.Калимуллина, Д.Мухин, Ф.Нилов, Д.Швецов и другие. Начало сегодня (12.11)
Пусть p — большое простое число (хотя бы 5). В каком диапазоне известна p-компонента в стабильных гомотопических группах сфер?
Зафиксирую тут, что нагуглил. Удобно обозначить q:=2p-2.
-1. Методом убивающих пространств легко показать, что в размерностях <2q есть только одна копия Z/p, которая сидит в q-ой группе. То есть легко досчитать примерно до ~4p. При p=5 получается 15.
0. Hirosi Toda в серии статей "p-primary components of homotopy groups" (1958-1959) досчитал до p^2q-4, то есть примерно до 2p^3. При p=5 получается 196. Видимо, он комбинировал метод убивающих пространств с EHP-последовательностями, композициями, скобками Тоды. В книжке "Композиционные методы..." почему-то сформулирован результат только до размерности pq-2 ~ 2p^2; не знаю, почему.
1. Методами Тоды много считал Shichiro Oka. В серии статей The Stable Homotopy Groups of Spheres (1971-1975) этим методом он посчитал компоненты до размерности (2p^2+p-2)q-6, то есть примерно до 4p^3. При p=5 получается 416.
2. Комбинируя с вычислениями Накамуры* второго листа в с.п. Адамса, Ока смог продвинуться ещё на 4p размерностей и добраться до (2p^2+p)q-4. При p=5 получается 436.
3. Используя те же вычисления Накамуры, но для с.п. Адамса-Новикова (и спектра Брауна-Петерсона, следуя Миллеру и Нейзендорферу), Marc Aubry посчитал компоненты до размерности
(3p^2+4p)q-1, то есть примерно до 6p^3. При p=5 получается 759.
(статья "Calculs de groupes d'homotopie stables de la sphere, par la suite spectrale d'Adams-Novikov", 1984. Это диссертация под руководством Лемэра.)
4. В книжке Douglas Ravenel "Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres" (1986) предлагается некий "метод бесконечного спуска" (использующий, помимо с.п. А.-Н., всякие накопленные знания про BP, хроматическую теорию, введённые Равенелем спектры T(m)...).
Равенел не говорит, насколько далеко удаётся продвинуться для любого p, но при p=5 проводит показательные вычисления и добирается до 999. В любом случае, это похоже на ~8p^3.
5. Наконец, в тексте Hirofumi Nakai, Douglas Ravenel "The method of infinite descent in stable homotopy theory II" высказана надежда, что примерно теми же методами можно добраться примерно до p^3q ~ 2p^4. Этот текст появился как препринт в 2008, выложен на архив в 2018, опубликован в 2024. При публикации в нём появился абзац:
It is unlikely that either author will take up this computational project any time soon. The purpose of the present paper is to document what we believe to be the most promising method of extending the computation of [Rav04, Chapter 7] in hopes that some more energetic mathematicians will use it in the future.
*Osamu Nakamura, On the cohomology of the mod p Steenrod algebra (1975)
P.S. Конечно, в описанных размерностях известны не только группы, но и композиционные умножения между ними; у Aubry соответствующая алгебра даже задана образующими и соотношениями
картинки по выходным — из «Контрпримеров в анализе» Гелбаума и Олмстеда
Читать полностью…
12 ноября 2024 г. в МИАН пройдет Мемориальная конференция памяти А. Н. Паршина.
http://www.mathnet.ru/conf2504
сегодня пусть здесь будет статья «Числа как функции» А.Н.Паршина (07.11.1942–18.06.2022)
// via М.Берштейн
https://ium.mccme.ru/globus.html
в четверг 7 ноября на семинаре «Глобус» Ольга Починка будет рассказывать о топологической ветке нижегородской школы нелинейных колебаний академика А.А.Андронова
15:40, конференц-зал НМУ
«Наиболее интенсивная и плодотворная деятельность А.А.Андронова как учёного, педагога и организатора развернулась в городе Горьком (ныне Нижний Новгород), куда он в 1931 году вместе с группой талантливых молодых учёных (М.Т.Грехова, В.И.Гапонов, Е.А.Леонтович, А.Г.Любина) переехал на постоянное местожительство. Здесь (вместе с учениками и коллегами) он ввел и детально разработал понятие «грубая система» — система, устойчивая к небольшим изменениям параметров. Полученный А.А.Андроновым и Л.С.Понтрягиным критерий грубости системы дифференциальных уравнений на плоскости по праву считается предвестником “гиперболической революции”, произошедшей в теории динамических систем в 60-х годах 20 века. (…) Аналоги грубых потоков на плоскости, (…) получившие название систем Морса-Смейла, оказались лишь частью многогранного гиперболического мира — это структурно устойчивые системы с конечным числом периодических точек. Как оказалось, титул "простейшие структурно устойчивые системы" совсем не отражает сути происходящего в мире систем Морса-Смейла. На сегодняшний день (благодаря серии работ нижегородско-французского коллектива: Х.Бонатти, В.З.Гринес, Е.Я.Гуревич, Е.В.Жужома, Ф.Лауденбах, В.С.Медведев, О.В.Починка) трудно указать какой-либо топологический эффект, не проявившийся в качестве инварианта такой динамической системы. (…) В начале доклада будет дан краткий обзор истории Горьковской-Нижегородской математической школы и ее вклада в теорию бифуркаций и динамических систем.»
https://math.ucr.edu/home/baez/week259.html
«This week I'll talk about the “field with one element” - even though it doesn't exist. It's a mathematical phantom...»
https://youtu.be/ntIA5xXDdu8
видеозапись рассказа А.В.Шаповалова про примеры и контрпримеры на семинаре учителей
( конспект: http://ashap.info/Nauka/KP-konspekt.pdf )
Вышла книга: Соловьёв Ю.П. «О математике и математиках» (Библиотечка «Квант», выпуск 142).
https://biblio.mccme.ru/node/259006
Книга представляет собой сборник статей одного из лучших авторов «Кванта» Ю.П.Соловьёва (1944–2003). Статьи сборника посвящены разным разделам математики, а также истории математики.
Спойлеры к предыдущей задаче:
Начнем с пункта б), чтобы было понятно, что разница между «сколь угодно большой» и «бесконечный» здесь действительно есть.
Пусть наши фигуры — это круги радиусов 10, 20, 30 и т.д. Почти все условия выполнены, только фигуры не помещаются в квадрат 10×10. Ну порежем все эти круги на кусочки небольшого размера, да еще снабдим кусочки выступами и (соответствующими им) пазами, чтобы они собирались только обратно в большие круги.
Утверждение а) можно доказать, пользуясь идеей компактности: рассматривая замощения, покрывающие всё бОльшие квадраты, и «выделяя сходящуюся подпоследовательность» (последовательность продолжающих друг друга замощений; при этом помогает, что каждая конечная область может быть покрыта только конечным числом способов).
// спасибо, кстати, А.Антропову за сюжет
А как обстоит дело, если фигурок конечное число, но они не обязательно клеточные? Буквально такое же решение пункта а) не проходит, но и пример построить сходу не получается… мб читатели расскажут?
https://core.ac.uk/download/pdf/82719688.pdf
Упражнение: докажите, что любую поверхность (компактную связную без края) можно получить из сферы последовательностью раздутий и сдутий.
«Топологическая гипотеза Нэша», доказанная Г.Михалкиным: аналогичное утверждение верно в любой размерности — любое вещественное многообразие (гладкое компактное связное без края) можно превратить в любое другое последовательностью раздутий и сдутий вдоль подмногообразий.
// via ppetya
https://youtu.be/FnQsow6iT5c
…и бонус
(есть английские субтитры)
Г.Б.Лоусон, М.-Л.Микельсон "Спинорная геометрия"
https://biblio.mccme.ru/node/259005
Читатель найдет в этой книге краткое и ясное изложение спинорной геометрии, различные версии теоремы Атьи–Зингера об индексе и ее многочисленные применения в задачах геометрии и топологии.
Рекомендуется для студентов старших курсов математических и физических факультетов, аспирантов и научных работников, интересующихся математикой.
https://arxiv.org/abs/2411.07409
«This article reflects on the life and mathematical contributions of Pierre Cartier, a distinguished figure in 20th- and 21st-century mathematics. As a key member of the Bourbaki collective, Cartier played a pivotal role in the formalization and modernization of mathematics. His work spanned fields such as algebraic geometry, representation theory, mathematical physics, and category theory, leaving an indelible mark on the discipline. Beyond his technical achievements, Cartier was celebrated for his intellectual generosity and humanistic approach to science, shaping not only mathematical thought but also the broader cultural understanding of the field.»
Alain Connes, Joseph Kouneiher. Pierre Cartier: A Visionary Mathematician
онлайн-лекция @forest_school_am в субботу 16 ноября
трансляцию обещают по ссылке https://meet.google.com/uam-sejh-hrb
https://nyjm.albany.edu/j/2024/30-8p.pdf
упомянутая выше статья Hirofumi Nakai, Douglas Ravenel. The method of infinite descent in stable homotopy theory II
https://youtu.be/phqXU-1CFas
новое видео Mathologer'а про равенства типа 2×2=2+2, 1×2×3=1+2+3… и про простые числа Софи Жермен
https://www.mathnet.ru/rus/uzku1116
в продолжение темы математики в Нижнем Новгороде — текст Г.М.Полотовского
«В 1969 г. Д.А.Гудков нашёл топологическую классификацию расположений ветвей неособых плоских вещественных проективных кривых степени 6 и на основании этого результата в 1971 г. высказал в гипотезу, что для определённой топологической характеристики неособых кривых чётной степени выполняется сравнение по модулю 8. Эта гипотеза оказалась толчком к бурному развитию топологии вещественных алгебраических многообразий в последней трети прошлого века, продолжающемуся (может быть, менее интенсивно) до настоящего времени.
История открытия и публикации упомянутых результатов Д.А.Гудкова содержит ряд малоизвестных фактов, одним из которых является нестандартная роль В.В.Морозова в деятельности Д.А.Гудкова. Эти факты представляются весьма интересными, а отчасти и поучительными, но для их содержательного восприятия требуется знание ряда понятий и результатов из топологии вещественных алгебраических кривых. Конечно, нужные сведения можно найти в многочисленных обзорах, посвящённых данной тематике, однако для независимости изложения начну с необходимого математического материала…»
для привлечения внимания — фрагмент из начала статьи
Читать полностью…
https://www.mat.univie.ac.at/~michor/leray.pdf
многие слышали, что Жан Лере придумал спектральные последовательности в лагере для военнопленных
вот в статье «Leray in Edelbach» по ссылке есть разные подробности про эту историю
например, заключенные организовали там университет и Лере был его ректором
M.Kapranov and A.Smirnov. Cohomology determinants and reciprocity laws: number field case
Читать полностью…
https://mccme.ru/nir/seminar/
7 ноября на семинаре учителей математики А.Д.Блинков расскажет о новой книге в серии “Школьные математические кружки” — “Тождества сокращенного умножения”, которая должна выйти в конце осени
19:00, столовая МЦНМО, приглашаются все желающие
https://youtu.be/ywWMjdtMrAE
вместо картинок в эти выходные — вот такая музыкальная пауза
[1] https://mipt.ru/news/dod-2024-3-noyabrya-fiztekh-zhdet-v-gosti-budushchikh-abiturientov
[2] https://mipt.ru/education/schools/math/programs
А.Н.Соболевский пишет:
«Здравствуйте! Хотел бы поделиться с вами следующей информацией в надежде, что она может быть интересна подписчикам @cme_channel (к числу которых я сам отношусь).
На интернет-ресурсах МФТИ появилась информация об осеннем Дне открытых дверей, который пройдет в воскресенье 3 ноября [1]. В нем впервые примет участие созданная на Физтехе летом 2024 года Высшая школа современной математики. Мы подготовили для гостей Дня открытых дверей небольшой информационный буклет, а я как директор школы буду готов ответить на вопросы о нашем учебном плане (проект которого есть на сайте школы [2]).»
Спойлер к упражнению:
ну действительно, раздуть поверхность в одной точке — то же самое, что вклеить ленту Мёбиуса
вспомним еще, что добавить 3 ленты Мёбиуса — то же самое, что добавить ленту Мёбиуса и ручку, так что можно добавлять и ручки (3 раздутия и 1 сдутие на ручку)
а) Пусть есть набор фигур полимино, каждая умещается в квадрат 10×10. Докажите, что если копиями этих фигурок можно замостить область, содержащую квадрат сколь угодно большого размера, то можно ими замостить и всю плоскость.
б) Существует набор фигур (уже не клеточных), каждая умещается в квадрат 10×10, копиями которых можно замостить область, содержащую квадрат сколь угодно большого размера, но нельзя замостить всю плоскость.
https://youtu.be/O-6KhwwM66k
картинки по выходным — про турбийон
чем размерность 4 отличается от всех других с точки зрения топологии многообразий
цитата — из самого начала книги Скорпана; ее русский перевод: https://biblio.mccme.ru/node/5566