10419
Немного математики каждый день // для обратной связи: cme.chnl@gmail.com (интересным вещам по теме канала всегда рады; за деньги или за «обмен ссылками» ничего не публикуем)
https://www.3blue1brown.com/blog/exact-sequence-picturebook
Ravi Vakil. Puzzling through exact sequences (A Bedtime Story with Pictures)
«Such topics rarely get bedtime stories, or strong visuals, which is part of what makes this such a gem. Enjoy!»
https://mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.14-full.pdf
напомним также замечательную брошюру В.И.Арнольда про цепные дроби
такое интервью С.П.Новикова пусть здесь еще будет
Читать полностью…
Прочитал про теорему Дена о разрезании: если прямоугольник можно разрезать на квадраты, то отношение его сторон рационально. Интуитивно это кажется логичным, но доказать не так уж и просто. Обратное утверждение тривиально: если отношение сторон рационально и скажем равно p/q, то увеличив масштаб в q раз, получим прямоугольник с целыми сторонами, который можно разрезать на квадраты 1x1.
Линейная алгебра помогает построить простые и красивые доказательства:
Отношение длин сторон прямоугольника W,H иррационально - это то же, что "W,H линейно независимы как векторы в пространстве R над Q". Это в свою очередь значит, что существует Q-линейная функция f:R->R, так, что f(W) и f(H) - любые удобные нам значения.
Для любой Q-линейной функции f определим f-площадь прямоугольника со сторонами A,B как f(A)*f(B). Тогда легко увидеть, что при разрезании прямоугольника на другие прямоугольники f-площадь целого равна сумме f-площади частей (это очевидно при разрезании одного прямоугольника на два, и к повторению этого можно свести любое разрезание, если сделать из него "сетку", продлив все внутренние линии до краев).
Как ни странно, доказательство почти закончено. f-площадь любого квадрата равна f(A)*f(A), то есть неотрицательна. Отсюда f-площадь любого прямоугольника размером W:H, разрезанного на квадраты, неотрицательна. Но если W/H не рационально, то мы можем выбрать такую f, что f(W)=1, f(H)=-1, и его f-площадь равна -1, это противоречие.
Другое доказательство с помощью линейной алгебры вместо f-площади пользуется тензорным произведением R@R. Если стороны прямоугольника w,h линейно независимы, то {w,h} можно продлить до базиса, и поэтому ясно, что в R@R линейно независимы также векторы w@w, w@h, h@w, h@h. С другой стороны, если прямоугольник разбит на квадраты, то w@h является суммой членов вида a@a (доказательство аналогично примеру с площадью). Это значит, что изоморфизм в R@R, который меняет координаты местами, одновременно переводит w@h в h@w и оставляет неизменным, т.е. w@h = h@w, а это противоречит их независимости.
Еще есть красивое доказательство с помощью гармонических функций на конечных графах (второе в этой заметке). А в древней книжке Яглома "Как разрезать квадрат?" (1968) есть элементарное доказательство через систему уравнений, связывающих длины сторон.
P.S. Вспоминается также замечательная статья "Fourteen proofs of a result about tiling a rectangle", где дается много доказательство похожего, но другого по сути утверждения: что если прямоугольник разрезан на прямоугольники и у каждого внутренного прямоугольника хотя бы одна из сторон - целое число, то и у всего прямоугольника тоже хотя бы одна из сторон целая.
Алексей БУФЕТОВ. Семинар КТ. Воскресенье, 9 июня
✅ Замощения домино:
комбинаторика и вероятность
Случайные замощения домино - элементарный объект, обладающий глубокими связями с самыми разными разделами математики и математической физики (например, комбинаторика, стат физика, теория представлений, интегрируемые системы, алгебраическая геометрия).
Я кратко расскажу об основных объектах и некоторых недавних результатах; если хватит времени, то во второй половине мы более детально изучим комбинаторику модели, в частности, докажем, что существует 12988816 замощений домино шахматной доски.
Для первой части доклада предварительные знания не нужны, для второй половины полезно (но не обязательно) что-то слышать о детерминанте и комплексных числах
Сергей Петрович Новиков (20.03.1938–06.06.2024)
Читать полностью…
https://golem.ph.utexas.edu/category/2024/05/3d_rotations_and_the_cross_pro.html
https://golem.ph.utexas.edu/category/2024/06/3d_rotations_and_the_7d_cross.html
«There’s a dot product and cross product of vectors in 3 dimensions. But there’s also a dot product and cross product in 7 dimensions obeying a lot of the same identities! There’s nothing really like this in other dimensions.
(…)
There is not an irreducible representation of SO(7) on ℝ^7 that preserves the dot product and cross product. Preserving the dot product is easy. But the cross product in 7 dimensions is a strange thing that breaks rotation symmetry.
There is, apparently, an irreducible representation of the much smaller group SO(3) on ℝ^7 that preserves the dot and cross product. But I only know this because people say Dynkin proved it! (…) I want to see one explicitly.»
на странице https://www.mathnet.ru/present12021 и далее по ссылкам
можно послушать рассказы Ф.Петрова на ЛШСМ-2015 про полиномиальный метод
в т.ч. с применениями и к упоминавшимся чуть выше списочным раскраскам, и к аддитивной комбинаторике, и к тождествам с q-биноимальным коэффициентам…
С 1 июня начнёт работу Летний математический лекторий – ежегодная программа ММИ им. Леонарда Эйлера, организованная при активном участии студентов и выпускников МКН СПбГУ.
🌼 Летний лекторий – открытая площадка для проведения авторских курсов по различным разделам математики. Основная часть мероприятий будет проходить очно на факультете МКН СПбГУ (СПб, 14-я линия В.О., 29), но отдельные занятия могут состояться онлайн. Все курсы будут транслироваться, а записи будут публиковаться на smlspb">канале Лектория
👉 Список анонсированных мероприятий и регистрация доступны на сайте
🐝 В этом году, помимо курсов лекций различной длительности, Лекторий предлагает поучаствовать в работе семинаров, научно-исследовательских групп и общематематического коллоквиума. Вы можете выступить в роли слушателя, лектора, организатора или исследователя.
📝 Мероприятия Лектория будут интересны старшеклассникам, младшекурсникам и математикам любого уровня. Присоединяйтесь!
https://math.hse.ru/announcements/917987589.html
во вторник (04.06) на Матфаке ВШЭ будет традиционный день Арнольда с двумя лекциями
— Константин Ханин. Ренормализация, Универсальность, Жесткость: современное развитие идей Арнольда о линеаризации диффеоморфизмов окружности
— Михаил Зайцев. О вычислении спектра квантовых матриц
Пусть карту — или посто граф — можно раскрасить в N цветов (так, что соседние вершины имеют разные цвета).
А если для каждой вершины зафиксирован свой набор из N разрешенных цветов, получится ли выбрать из них правильную раскраску? На первый взгляд может показаться, что “самый худший случай” — когда списки во всех вершинах одинаковые, а если в разных вершинах разрешены разные цвета, то это только проще.
Но можно привести несложый пример, когда для такой 'list coloring' придется просить в 100500 раз больше цветов, чем для обычной.
См. /channel/mathtabletalks/4526 и далее
https://youtu.be/d6B7_YOPnY4
видеозапись лекции Дмитрия Швецова про биссектрисы (закрытие ММО, 19.05.2024)
https://youtu.be/o7U3yvMF8Sw
Henry Segerman показывает 3д-модели диких узлов (файлы для печати в описании видео), а также объясняет про раскраски узлов и фунд. группу
https://ag.hse.ru/news/924414485.html
летняя школа для старшекурсников и аспирантов «Алгебра и геометрия» в этом году будет с 29 июля по 4 августа в Суздале
ожидается участие В.Алексеева (Университет Джорджии, США), М.Батанина (Университет Макквери, Австралия), О.Починки (ВШЭ, Нижний Новгород), С.Тихонова (БГУ, Минск, Беларусь)
https://zykin.mccme.ru/
в понедельник (17.06) в МИАН будет VIII конференция памяти Алексея Зыкина (13.06.1984–22.04.2017)
11:00 Денис Лысков. Обобщение операд на основе графов и производящие функции
12:20 Олег Демченко. Формальные группы над p-адическими кольцами целых
14:30 Константин Шрамов. Бирациональная геометрия поверхностей дель Пеццо
15:50 Сергей Горчинский. О работах Алексея Зыкина
http://www.mathnet.ru/present135
к д.р. В.И.Арнольда — вот, например, видеозаписи его рассказов про квадратичные иррациональности и цепные дроби
одно из возможных продолжений сюжета про теорему Дена: /channel/cme_channel/3053
Читать полностью…
У нас тут с Таней Казанцевой вышла статья в матпросвещении. Прорекламирую, с вашего позволения. Статья из двух частей: в первой мы доказываем теорему Халина (на самом деле это лучше структурированный перевод элементарного доказательства Дестеля), а во второй применяем эту самую теорему к вершинно-транзитивным графам.
О чём теорема Халина. Пусть у нас есть бесконечный граф, в котором есть хотя бы один толстый (нейминг не мой :-) ) конец. Это значит, что в графе есть бесконечно много попарно непересекающихся эквивалентных лучей (два луча эквивалентны, если найдется третий, который пересекает каждый из них бесконечное число раз). Так вот, если у нас сложилась именно такая ситуация, то в графе оказывается найдётся гексагональная решётка. Это можно понимать как бесконечное число параллельных прямых (не лучей!) где соседние прямые соединены «перемычками». Картинку в статье посмотрите.
Во второй части мы смотрим на такую штуку как рост графа. Это, грубо говоря, функция числа точек на расстоянии не более чем N от данной вершины. У прямой рост линеен, у плоскости квадратичен и так далее. Довольно просто проверить, что если в графе есть толстый конец, то он не может иметь линейный рост (сразу из теоремы Халина). Точнее так: если граф линейного роста, то все его концы тонкие.
А вот обратное — вообще говоря неправда.
Например бывает граф с одни тонким концом, но при этом экспоненциального роста (ну и ещё там несколько примеров с приятными картинками). А вот для вершнно-транзитивных графов при условии конечности числа концов обратное утверждение имеет место. Конечность числа концов значит, что для некоторого C количество бесконечных компонент связности после выкидывания любого конечного подграфа — не более чем C.
Доказательство не очень трудное, картинки симпатичные, в общем почитайте. В принципе, вся статья писалась так, чтобы быть доступной для матшкольника. Единственное, само доказательство теоремы Халина довольно длинное.
Почему я обращаю на это всё внимание и почему вообще мы взялись за такую статью. В школе обычно сосредотачиваются на конечных графах, а бесконечные или просто «очень большие» графы толком и не рассматривают. Но ведь зря! Они и во «взрослой» математике часто встречаются, да и для приложений полезны. Как и привычка работать с системами, которые не уместишь на листочке: абстрактное мышление, ага.
На самом деле из этого всего можно сделать интересный факультатив для школьников, и придумать массу задач что для олимпиад, что для «проектов». Например предложить реализовать алгоритм поиска решётки из доказательства (он конструктивный).
* Вот сама статья
* Моя статья про графы Кэли (пример вершинно-транзитивных графов)
* И про грубую геометрию (там немного
больше про грубый контекст этой задачи)
Ну и последнее. Если Вы хотите помочь МЦНМО и\или почитать мою статью в бумажном виде -- то матпросвешение продаётся (журнал! Само просвещение -- не продаётся). 450 целковых.
«Предлагаем … отрывки из статьи С.П.Новикова …, в которых он рассказывает о том, как он изучал математику и физику, и о своих первых шагах в науке.» (Квант 2018-06)
Читать полностью…
https://golem.ph.utexas.edu/category/2024/05/wild_knots_are_wildly_difficul.html
продолжение сюжета про дикие узлы
«Wild knots are extremely hard to classify. This is not just a feeling — it’s a theorem. Vadim Kulikov showed that wild knots are harder to classify than any sort of countable structure that you can describe using first-order classical logic with just countably many symbols!»
https://arxiv.org/abs/2405.20552
T.Tao: «There has been a remarkable breakthrough towards the Riemann hypothesis (though still very far from fully resolving this conjecture) by Guth and Maynard making the first substantial improvement to a classical 1940 bound of Ingham regarding the zeroes of the Riemann zeta function (and more generally, controlling the large values of various Dirichlet series)»
задача Ф.Петрова с ВсОШ-2007: доказать, что цикл длины 100 является списочно раскрашиваемым в 2 цвета — или, другими словами,
если каждой вершине 100-угольника написано по два различных числа, то можно так вычеркнуть по одному числу в каждой вершине, чтобы оставшиеся числа в каждых двух соседних вершинах были различными
доказать это можно так
рассмотрим многочлен
P:=(x1-x2)(x2-x3)(x3-x4)…(x100-x1)
мы хотим доказать, что если для каждой переменной есть два разрешенных варианта, то для какого-то из выборов P в соответствующей точке не равен нулю
а это следует из того, что коэффициент при мономе x1 x2 … x100 ненулевой
(
действительно, пусть для переменной x1 разрешены значения a и b — тогда перейдем от многочлена P(x1,…) к многочлену P(b,…)-P(a,…); потом сделаем то же по следующей переменной и т.д.
если для каждого из выборов значение P нулевое, то мы в итоге получим 0
с другой стороны, эта операция аддитивная, на мономе x1 x2 … x100 она ненулевая, а на всех остальных мономах из P нулевая — так как все они имеют нулевую степень хотя бы по одной переменной
противоречие
)
доказанное в скобках утверждение — частный случай “комбинаторной теоремы о нулях” и
https://youtu.be/Phscjl0u6TI
в порядке картинок по выходным — ролик “How Kepler Actually Discovered his Laws”
и продолжение, https://youtu.be/MprJN5teQxc
https://www.mathnet.ru/conf2446
3, 4 и 6 июня в МИАН будут лекции памяти И.Р.Шафаревича
Леон Арменович Тахтаджян будет рассказывать про аналитическую геометрию модулей кривых и расслоений
https://youtu.be/icnplMaiC1k
видеозапись лекции А.И.Аптекарева про приближение действительных чисел цепными дробями, числа Маркова и всё такое (закрытие ММО, 19.05.2024)
https://ium.mccme.ru/globus.html
в четверг 30 мая на семинаре «Глобус» С.К.Ландо будет рассказывать про весовые системы, связанные с алгебрами Ли
«Все необходимые определения и сводка — простых — используемых свойств алгебр Ли будут даны в докладе. Комбинаторная основа всех конструкций будет описана явно, и будет приведено большое количество примеров.
В начале 1990-х годов В.А.Васильев разработал теорию инвариантов узлов конечного порядка. В этой теории каждому такому инварианту сопоставляется функция на хордовых диаграммах (…) [с некоторыми свойствами]. Такие функции называются весовыми системами. Согласно доказанной в то же время теореме Концевича это соответствие, по сути, взаимно-однозначно: каждая весовая система определяет какой-то инвариант конечного порядка.
(…) весовую систему можно построить по произвольной полупростой алгебре Ли. Однако уже (…) для алгебры Ли sl(2), вычисление значений соответствующей весовой системы представляет собой вычислительно сложную задачу. В то же время, эта весовая система очень важна, поскольку она соответствует знаменитому инварианту узлов, крашеному многочлену Джонса.
В докладе будут описаны эти конструкции и соответствующие результаты, а также достигнутый в течение последней пары лет существенный прогресс в нашем понимании весовых систем, ассоциированных с алгебрами Ли, и вычислении их значений. Прогресс затронул и sl(2)-весовую систему, и гораздо более общую gl(N)-весовую систему при произвольном N. Были получены новые рекуррентные соотношения, приводящие к множеству явных формул. Эти методы основаны на идее Казаряна, позволяющей вычислять значения gl(N)-весовой системы на перестановках. При этом оказалось, что многие известные полиномиальные инварианты графов тесно связаны с этой расширенной весовой системой.
Доклад основан на работах М.Казаряна, докладчика и студентов П.Закорко, Чжоке Яна, Н.Коданевой и П.Зиновой.»
https://www.quantamagazine.org/how-failure-has-made-mathematics-stronger-20240522/
в продолжение /channel/cme_channel/3381
https://zadachi.mccme.ru/2012/pics.html
сегодня вместо картинок по выходным — вот такая страница с разными геометрическими рисунками (на скриншоте несколько примеров) —
в честь 15 000 задач в ИПС «Задачи по геометрии»
и напомним отзывы коллег к предыдущему юбилею — https://old.mccme.ru/head/news/zadachi10000.htm
https://people.math.ethz.ch/~rahul/ModuliReflections.pdf
In preparation for my Hirzebruch Lecture in Bonn (15 May 2023), I <Rahul Pandharipande> sent several of my friends, collaborators, and colleagues the following message:
Why are you interested in moduli spaces? If you could write a quick paragraph, I would be grateful.
I received a flood of interesting replies varying in perspective from the philosophical to the technical. (…) Each bullet point represents a distinct person (none of whom are me). I hope some sense of the motivations of the community will come through.