10419
Немного математики каждый день // для обратной связи: cme.chnl@gmail.com (интересным вещам по теме канала всегда рады; за деньги или за «обмен ссылками» ничего не публикуем)
https://youtu.be/8eQoJmWroxs
Андрей Щетников пишет: «Наш новый математический ролик!!! Числа Фибоначчи и треугольник Паскаля строятся похожим образом — суммированием, начитая с единиц. Наверное, они и сами каким-то образом связаны друг с другом? Это действительно так, и с этим мы сегодня разберёмся.»
https://zykin.mccme.ru/
в четверг (15.06) в МИАН будет VII конференция памяти Алексея Зыкина (13.06.1984–22.04.2017)
12:00 Петр Кучерявый. Комплексный анализ в теории чисел: метод Сельберга-Деланжа
13:15 Екатерина Малыгина. Построение эффективно декодируемого семейства решеток с помощью алгебро-геометрических кодов, ассоциированных с башней Гарсии-Штихтенота
15:30 Андрей Трепалин. Поверхности дель Пеццо степени 8 без точек и группа Брауэра
16:45 Алексей Пирковский. Квазисвободные пополнения алгебры Тёплица-Джекобсона и их гомологии Хохшильда
https://mathenchant.wordpress.com/2020/02/17/chess-with-the-devil/
«…Mathematician Charles Fefferman (…) says that doing math research is like playing chess with the Devil. Or rather, chess with a devil who, although much smarter than you, is bound by an ironclad rule: although you are allowed at any stage to take back as many moves as you like and rewind the game to an earlier stage, the devil cannot. In game after game, the devil trounces you, but if you learn from your mistakes, you can turn his intelligence against him, forcing him to become your chess tutor. (…) Someone who reads a record of the final version of the game (…) may marvel at some cunning trap you set and ask “How on earth did you know that this would lead to checkmate ten moves in the future?” The answer is, you already had a chance to explore that future…»
https://anuragbishnoi.wordpress.com/2023/06/08/determining-ramsey-numbers-using-finite-geometry/
«Finite geometry plays a crucial role in their work and it diverges significantly from the purely probabilistic attempts so far. Here is my blog post on their construction»
пусть есть две формы объема (формы, старшей степени, нигде не обращающиеся в ноль) на одном и том же замкнутом многообразии. когда одна получается из другой диффеоморфизмом многообразия?
очевидное необходимое условие: совпадение объемов многообразия относительно этих форм
оказывается, оно является и достаточным — вот статья Мозера, где это доказывается при помощи «гомотопического метода» (aka «трюка Мозера»)
опубликованы решения заочного тура олимпиады Шарыгина этого года:
https://geometry.ru/olimp/2023/zaoch_sol_2023.pdf
а также информация о финале в конце июля (в т.ч. списки приглашенных туда): https://geometry.ru/olimp/2023.php#final
Пару лет назад мы с коллегами Натальей Нетрусовой и Антоном Сысоевым сделали курс «Геогебра для учителей»: семь видеоуроков + практические задания. В тот момент он был открыт для учителей Матвертикали и мы проверяли задания и писали к ним замечания. Сейчас мы решили выложить этот курс в свободный доступ, но только без проверки: учитель практикуется на заготовках и сам себя проверяет. Курс сделан в виде GeoGebraBook и доступен по ссылке даже без регистрации в Геогебре.
https://www.geogebra.org/m/jdg8nz9e
https://www.mathnet.ru/conf2203
в понедельник (05.06) начинается конференция, посвященная 100-летию со дня рождения И.Р.Шафаревича (03.06.1923–19.02.2017)
циклическое неравенство
x1/(x2+x3)+x2/(x3+x4)+…+xN/(x1+x2) ⩾ N/2
предлагалось в AMM в 1954 году, а в 1956 году AMM написал про доказательства для N=(3,)4,5 (это, кстати, уже не так просто, попробуйте),
а также про девять неправильных доказательств общего случая — и контрпример, который нашел M.J.Lighthill:
при N=20 набор 1+5ε, 6ε, 1+4ε, 5ε, 1+3ε, 4ε, 1+2ε, 3ε, 1+ε, 2ε, 1+2ε, ε, 1+3ε, 2ε, 1+4ε, 3ε, 1+5ε, 4ε, 1+6ε, 5ε дает в левой части сумму 10-ε²+o(ε²)
а в 1969 году¹ старшеклассник Владимир Дринфельд нашел оптимальную константу, на которую нужно заменить 1/2 в правой части неравенства, чтобы оно стало верным (и эта константа на удивление близка к 1/2)
¹ статья вышла в МатЗаметках в 1971 году
про всё это (и разное вокруг) был проект на ЛКТГ в 2010 году: https://www.turgor.ru/lktg/2010/5/
сегодня такая задача из двух пунктов
а) доказать, что для любых трех положительных чисел
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b) ⩾ 3/2
б) обобщение для N переменных (предлагалось в 1954 году в AmerMathMonthly):
x1/(x2+x3)+x2/(x3+x4)+…+xN/(x1+x2) ⩾ N/2
https://cs.uwaterloo.ca/~csk/spectre/
https://arxiv.org/abs/2305.17743
если в предыдущем примере¹ апериодического замощения одной плиткой вас смущала необходимость перевораичвать часть плиток, то есть хорошие новости
«we … produce a family of shapes we call “Spectres”, which are strictly chiral aperiodic monotiles: they tile aperiodically using only translations and rotations, even when reflections are permitted»
¹ /channel/cme_channel/3154
http://www.bogomolov-lab.ru/SHKOLA2023/
25-29 июля в Суздале будет летняя школа для старшекурсников и аспирантов «Алгебра и геометрия»
ожидается участие А.Бейлинсона (Университет Чикаго), В.Петрова (СпбГУ), Ю.Зайцевой (ВШЭ), Е.Смирнова (ВШЭ), Е.Америк (ВШЭ), Д.Орлова (МИАН), Г.Михалкина (Университет Женевы)
регистрация до 10 июня
картинки для привлечения внимания
Читать полностью…
https://biblio.mccme.ru/node/195748
Илья Сиротовский. Клетки и таблицы
«Клетчатый лист бумаги — объект, знакомый каждому ребёнку. Но также это очень благодатная почва для иллюстрации большого количества математических идей.
(…)
В этой книге собраны занятия, призванные раскрыть некоторые важные идеи и методы в применении к клетчатым листам и таблицам. Вот некоторые из них:
— подсчёт двумя способами одной и той же величины;
— инвариант;
— идеи чётности и делимости;
— уравнения в целых числах;
— вспомогательные разбиения;
— выбор областей;
— чередование.
Многие из этих идей распространяются далеко за пределы клетчатых объектов (…).»
Как всегда в серии «Школьные математические кружки» — задачи, решения, комментарии, готовые варианты занятий.
Краттенталер написал несколько мануалов по подсчету сложных определителей - если у вас есть важный детерминант, который вы хотите подсчитать символьно, то смотрите сюда:
https://arxiv.org/abs/math/9902004
https://arxiv.org/abs/math/0503507
Кроме того, он имплементировал в математике все формулы преобразования гипергеометрических и q-гипергеометрических функций из книжки Гаспера-Рахмана:
https://www.mat.univie.ac.at/~kratt/hyp_hypq/hyp.html
Сегодня я узнал, что у него еще есть машинка RATE для угадывания формулы по последовательности:
https://www.mat.univie.ac.at/~kratt/rate/rate.html
Прямо даешь ей несколько чисел, а она тебе формулу в виде произведения!
В общем, если кто занимается символьными вычислениями и/или работает со страшными формулами, то очень рекомендую!
в продолжение темы особенностей — пара страниц из самого начала книги «Особенности каустик и волновых фронтов» В.И.Арнольда
Читать полностью…
https://etudes.ru/etudes/drawing-singularities/
/channel/EtudesRu/604
картинки по выходным сегодня — про особенности и рисунки
https://arxiv.org/abs/2306.04007
говорят, S.Mattheus и J.Verstraete решили проблему Эрдеша https://www.erdosproblems.com/166 про хорошую оценку для чисел Рамсея R(4,k)
( via T.Gowers; чуть раньше было другое продвижение про числа Рамсея: /channel/cme_channel/3151 )
Иногда рассказываю про гомотопический метод. Он же (или его спецификация) известен как трюк Мозера. Его же называют path lifting.
Арнольд утверждал, что его придумал Рене Том, трюк Мозера ясно что приписывается Мозеру, а последний — Вейнстейну.
Это метод решения многих математических задач. Я когда-то шутил, что так можно решить любую задачу и это не совсем шутка, что я понимал и тогда и сейчас.
Философия (которую, видимо, Арнольд узнал когда-то от Тома) такова: допустим мы хотим решить некоторую задачу, которую мы назовем A. Посмотрев на «возможные шевеления» мы понимаем, что A это точка в «пространстве задач». А это «пространство задач» на самом деле часто является конечномерным или даже бесконечно-мерным многообразием.
Ну например (первый пришедший в голову): вместо того, чтобы доказывать что-то про один конкретный треугольник, скажем, что его медианы пересекаются в одной точке (это задача А), рассмотрим пространство задач — точкой которого является то же утверждение для произвольного (вообще говоря другого) треугольника.
Что нам важно для того, чтобы метод имел шанс сработать: 1. нам важно, чтоб в этом пространстве была задача, которую мы умеем решать! Часто эта задача действительно тривиальна. Мы ее обозначим через А_0, а задачу А переименуем в А_1. 2. нам важно, чтобы пространство задач было линейно связно, и мы могли соединить задачу А_0 с А_1 гладким (!) путем (да еще чтоб вектор скорости никогда не обнулялся, что часто автоматически выполняется), состоящим из задач А_t, t бегает по отрезку [0,1].
Разобьем отрезок [0,1] на N частей [i/N, (i+1)/N].
Дальше очевидное утверждение, подобное индукции: из верности А_0 и того, что из А_i/N вытекает А_(i+1)/N вытекает верность (разрешимость) А_1.
В этот момент надо понять к какой задаче стремится “из верности А_i/N вытекает А_(i+1)/N”. Часто, в силу чуть ли не основной идеи анализа, идеи производной (в малом математические объекты хорошо приближаются линейными объектами) возникает «касательная задача», которая (по отношению к исходной) проще (!) — это, все-таки, задача линейной алгебры. Если нам повезет, мы ее решим, а решение исходной задачи А_1 получим «интегрированием решения касательной задачи», по формуле Ньютона-Лейбница.
Классические применения этого метода: теорема Дарбу, лемма Морса, ее обобщение — теорема Тужрона (конечнократная критическая точка кратности m правоэквивалентна своему многочлену Тейлора степени m+1), классификация форм объема на компактном ориентированном многообразии с точностью до диффеоморфизма и масса других, часто классификационных, задач. Конечно, чтоб почувствовать силу метода надо разбирать примеры.
А, да, «касательную задачу» часто называют гомологическим уравнением.
https://math.hse.ru/announcements/829763097.html
в пятницу (09.06) будет традиционный День Арнольда
Арнольдовская лекция — Иван Панин. Многозначные отображения и их применения
лекция Арнольдовского стипендиата — Светлана Широковских. Суперпортовые цепи и обобщение матричной теоремы Кирхгофа о деревьях
https://youtu.be/Sbt-iFm0zTA
картинки по выходным — про комнату Эймса и проективную геометрию
— А когда вы поступили [в МГУ]?
— А я не поступал совсем. Я был такой нахальный мальчишка. Еще школьником я пришел к декану и сказал, что я читаю учебники и не знаю, правильно ли я их понимаю. Нельзя ли мне попробовать сдать кому-нибудь экзамены? Он предложил мне сдать экзамены экстерном. И первый, к кому он послал меня сдавать экзамен, был Делоне (аналитическая геометрия), вторым был Курош (алгебра), а третьим — Гельфанд (анализ). Вот я с ними и познакомился. Все они ко мне очень сердечно отнеслись. Очень много со мной занимались, давали мне много литературы сверх обязательной программы. (…) И когда я закончил 9 классов, у меня были уже сданы почти все экзамены за университет. Мне разрешили поступить на последний курс, так что собственно аттестата об окончании средней школы у меня нет. Окончил университет я в 1940 году, то есть мне было 17 лет.
(…)
Когда мне было 14 лет, Делоне рекомендовал мне читать теорию Галуа. Но я совершенно ее не понял, тем более что изложение было очень тяжелое. Я читал книжку Чеботарёва, она очень тяжело была написана, запутанно. Потом я разобрался по книжке ван дер Вардена. Следующим летом я уезжал, и Делоне мне взял из библиотеки института Гильберта. В следующем году, в 15 лет, я читал Гильберта. К тому времени я уже немножко знал алгебру и смог понять его. Никакого особенного аппарата там не использовалось.
(из интервью И.Р.Шафаревича, цит. по новой книге)
неравенство
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b) ⩾ 3/2
(задача 15114 на странице выше) можно доказывать кучей разных способов
например, перейдем к переменным x=b+c, y=c+a, z=a+b (мотивация: знаменатели станут выглядеть очень просто, а усложнение числителей уж как-нибудь переживем)
тогда a=(y+z-x)/2 и т.д., т.е. нам нужно доказать, что (y+z-x)/x+… ⩾ 3
но это сразу получается из трех очевидных неравенств типа y/x+x/y⩾2
сложнее с аналогичным циклическим неравенством для большего числа переменных…
https://www.shawprize.org/news/announcement-press-conference-2023-press-release
Объявлены лауреаты премии Шао (Shaw Prize) 2023 года. Премию по математике получают
Владимир Дринфельд и Яу Шинтун
«for their contributions related to mathematical physics, to arithmetic geometry, to differential geometry and to Kähler geometry»
https://ium.mccme.ru/globus.html
в четверг (01.06) в НМУ будет юбилейный доклад Ирины Михайловны Парамоновой
«Первая часть будет посвящена методу орбит, появившемуся в 1962 году в работе А.А.Кириллова. Устанавливая связь между таким сложным объектом, как пространство неприводимых унитарных представлений группы Ли G, и гораздо более простым объектом — пространством орбит группы G в коприсоединенном представлении, метод орбит часто подсказывает простые и геометрически наглядные ответы на основные вопросы теории представлений. Я расскажу, как метод орбит работает в задачах ограничения и индуцирования для разрешимых групп Ли.
Вторая часть будет посвящена классификации простых бесконечномерных супералгебр Ли векторных полей.
Все специальные термины будут в докладе объяснены.»
15:40, конференц-зал МЦНМО
https://youtu.be/PrOu9OmAUYI
в качестве картинок по выходным — треугольник Паскаля и ковёр Серпинского
https://www.mathnet.ru/rus/kvant1726
напомним и статью В.Н.Дубровского «Геометрия на паркете»
там при помощи подходящих замощений плоскости доказывается теорема Пифагора, теорема Наполеона и проч.
про замощение плоскости произвольными четырехугольниками и его применение к решению геометрических задач можно почитать в статье Болтянского «Паркет из четырехугольников» в Кванте
http://kvant.mccme.ru/1989/11/parket_iz_chetyrehugolnikov.htm
#события
21 мая 1792 года в Париже родился Гаспар-Гюстав Кориолис – французский физик, математик, механик и инженер.
Гаспар окончил престижную Политехническую школу, в которой вскоре стал профессором, а позднее директором по исследованиям. Его забота и внимание распространялись даже на условия труда студентов. Кориолис оснастил аудитории школы «водяными холодильниками» – прообразами современных кулеров, которые работают до сих пор и называются «кориолями».
Основной научный интерес ученого лежал в области разработки движущихся частей различных механизмов. Например, Кориолис – один из изобретателей подшипников. Занимаясь практической механикой, он дал современные определения работы и кинетической энергии. Кроме того, Гаспар окончательно сформулировал теорию относительного движения и ввел понятие «сложные центробежные силы». Предложенное определение не прижилось, и вскоре общепринятым названием новых сил стали «кориолисовы силы» или «силы Кориолиса». Самый простой пример использования такой силы – это эффект ускорения кручения танцоров. Чтобы ускорить свое вращение, человек может начать крутиться с широко разведенными в стороны руками, а затем резко прижать руки к туловищу, что вызовет увеличение круговой скорости. При этом возникает ощущение, что руки отталкиваются от чего-то еще больше ускоряясь.
Своим любимым трудом Кориолис считал книгу «Математическая теория явлений бильярдной игры». Гаспар смотрел на бильярд глазами математика и механика. Используя примеры из игры, он составил задачи о движении шаров по шероховатой плоскости и сам же дал решения этих задач. Ученый обосновал вероятность возвратного движения шара, которое позднее применили на практике профессионалы высокого класса. В предисловии к книге он писал: «Я думаю, что люди, знающие теоретическую механику, вроде учеников Политехнической школы, с интересом познакомятся с объяснениями всех оригинальных явлений, которые можно наблюдать во время движения бильярдных шаров». Кориолиса более всего увлекали изящество и остроумие анализа и графических способов расчета сил, ускорений и скоростей, которые получаются в результате удара кием по шару, а также при взаимном столкновении шаров друг с другом и в момент отражения шара от борта бильярда. Книга буквально пестрит формулами из теории вероятности и теории пределов, дифференциального и интегрального исчислений. Естественно, что Кориолис даже не ставил своей задачей дать какие-либо практические рекомендации поклонникам бильярда, поэтому его произведение может быть интересно преимущественно ученым, занимающимся динамикой твердого тела.
Гаспар всегда очень серьезно относился к своим работам, но совершенно не ценил своих достижений, возможно, скромность его была столь велика, что он даже не понимал значения своего вклада в науку. Единственный портрет ученого работы де Ролле был написан в 1841 году и не сохранился, в архивах остались лишь гравюры с этой картины. Интересно, что портрет художник начал писать, не зная, что позирует ему ученый: для него Кориолис был совладельцем фабрики фортепьяно, человеком с интересной и романтической наружностью.
Уже по сложившейся традиции мы завершаем рассказ о герое рубрики роликом из нашей видеобиблиотеки и желаем приятного просмотра.
GetAClass - физика, математика,
здравый смысл и кое-что ещё…