10419
Немного математики каждый день // для обратной связи: cme.chnl@gmail.com (интересным вещам по теме канала всегда рады; за деньги или за «обмен ссылками» ничего не публикуем)
https://www.nytimes.com/2023/05/21/science/math-puzzles-integer-sequences.html
статья в NY Times к 50-летию OEIS
GerardWestendorp/109984820850862986" rel="nofollow">https://mathstodon.xyz/@GerardWestendorp/109984820850862986
в порядке картинок по выходным
https://mmo.mccme.ru/2023/zakr.htm
в воскрсенье (21.05) днем будет закрытие Московской мат. олимпиады и МатПраздника
в частности, будет лекция для старшеклассников председателя оргкомитета Сергея Горчинского «Великая теорема Ферма и эллиптические кривые»
подробности по ссылке
в четверг (18.05) в НМУ будет доклад Александра Гайфуллина про триангуляции многообразий, похожих на проективные плоскости
«В 1987 году Брем и Кюнель доказали следующую оценку: всякая комбинаторная триангуляция отличного от сферы d-мерного многообразия (без края) должна иметь не менее 3d/2+3 вершин. Более того, наличие у многообразия M, отличного от сферы, триангуляции ровно с 3d/2+3 вершинами накладывает на это многообразие очень жесткие условия. Во-первых, размерность d может быть равна только 2, 4, 8 или 16; во-вторых, M должно допускать (кусочно линейную) функцию Морса ровно с тремя критическими точками. (…) До недавнего времени было известно ровно 5 примеров различных (3d/2+3)-вершинных триангуляций d-мерных многообразий, отличных от сферы:
1) d=2: единственная 6-вершинная триангуляция вещественной проективной плоскости (…);
2) d=4: единственная 9-вершинная триангуляция комплексной проективной плоскости (Кюнель, 1983);
3) d=8: три 15-вершинные триангуляции кватернионной проективной плоскости (построение триангуляций — Брем и Кюнель, 1992; доказательство, что эти триангуляции действительно гомеоморфны кватернионной проективной плоскости — Городков, 2016).
Случай d=16 оставался полностью открытым: не было известно никаких 27-вершинных триангуляций 16-мерных многообразий, отличных от сферы. В докладе я расскажу о построении таких триангуляций. А именно, будет предъявлено четыре таких симплициальных многообразия с группой симметрий порядка 351 и на их основе построено очень много (более 10^{103}) таких симплициальных многообразий с меньшими группами симметрий. Слово "предъявлено" означает следующее. Четыре симплициальных многообразия с группой симметрий порядка 351 были найдены при помощи специального компьютерного алгоритма и ответом для каждой из них является список из 286 орбит 16-мерных симплексов.
Естественная гипотеза состоит в том, что все построенные симплициальные многообразия кусочно линейно гомеоморфны октавной проективной плоскости. Однако попытки доказательства этой гипотезы упираются в необходимость вычисления второго класса Понтрягина построенных симплициальных многообразий. В настоящее время не известно эффективного способа такого вычисления.»
15:40, конференц-зал МЦНМО
Don Zagier. Values of Zeta Functions and Their Applications
«In this article we will give a highly idiosyncratic and prejudiced tour of a number of these “applications,” making no attempt to be systematic, but only to give a feel for some of the ways in which special values of zeta functions interrelate with other interesting mathematical questions.»
еще Эйлер вычислил сумму обратных квадратов и вообще все суммы zeta(2k):=sum 1/n^{2k}
ответ оказывается рациональным кратным π^{2k}, а коэффициент неожиданным образом связан с комбинаторикой перестановок
в 1990-е годы Калаби нашел замечательное элементарное доказательство этого факта (по сути используется только замена переменной в [многомерном] интеграле — и все сводится к подсчету объемов несложных многогранников)
вот понятный текст про это (Noam D. Elkies. On the Sums…)
сегодня отмечает 100-летие Эудженио Калаби
вот достаточно недавнее большое интервью с ним
«…I’ve seen sketches of painting and sculptures based on Calabi-Yau. There was even an off-Broadway play in New York a musical with the title “Calabi-Yau”. (…) The musical was just fun. By chance I was at a meeting [in New York City] and I saw it in the paper so I went over there and said “do I get a free ticket.” No, I paid fifteen dollars!..»
https://www.alignment.org/blog/prize-for-matrix-completion-problems/
& https://mathoverflow.net/q/444916/
«Here are two self-contained algorithmic questions that have come up in our research. We're offering a bounty of $5k for a solution to either of them—either an algorithm, or a lower bound under any hardness assumption that has appeared in the literature.»
сегодняшние картинки по выходным — про то как строить правильные многоугольники… завязывая полоски бумаги
подробности — в статье из Квантика №5 за 2014 год: https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2014-05.14-15.pdf (А.Бердников, М.Прасолов. Г.Фельдман)
ранее на близкие темы: /channel/EtudesRu/436
Вчера Гриша Мерзон рассказал замечательное.
Есть теорема «о трех колпаках», замечательная. Теорема эта такая. На плоскости даны три окружности различных радиусов, лежащих снаружи друг-друга. Для каждой пары окружностей из этой тройки проведем внешние касательные, которых тоже две штуки. Эти две касательные пересекутся в точке. Так вот, утверждение теоремы состоит в том, что эти три точки лежат на одной прямой.
Одно из доказательств (вернее идея) таково: надо выйти в пространство — рассмотреть не окружности, а сферы с теми же центрами. Дальше надо положить на эти три сферы плоскость (если это возможно!) пересечение исходной плоскости и положенной плоскости есть нужная прямая.
А вот что рассказал Гриша, пересказывая Бибикова. доказательство (тоже идея) при помощи геометрии Лобачевского.
Оказывается (то есть это простая теорема), две окружности (одна вовне другой) в модели Пуанкаре (на верхней полуплоскости) равны, то есть совмещаются движением если и только если их внешние касательные пересекаются на абсолюте (возможно в бесконечно-удаленной точке)! Тут правильно сказать, что окружности в модели Пуанкаре это обычные евклидовы окружности в верхней полуплоскости (только радиусы их никак не связаны).
В доказательстве главную роль играет то, что гомотетия с центром на абсолюте есть движение плоскости Лобачевского.
Теперь «три колпака» — если есть три окружности, то выберем произвольным образом две разные пары из них (конечно эти пары пересекутся по одной окружности).
Рассмотрим две пары внешних касательных, построенных по выбранным парам окружностей — каждая пара касательных пересечется в какой-то точке (считаем их не бесконечно-удаленными). Проведем через эту пару точек прямую. Назначим ее абсолютом! Тогда окружности из первой и второй пары равны. Значит, равны окружности и из третьей пары, которую мы не рассматривали. Значит, соответствующие внешние касательные тоже пересекаются на абсолюте.
Прекрасное рассуждение, только в нем та же проблема, что и с первым доказательством. Если назначить эту прямую абсолютом, то не верно, вообще говоря, что все три окружности окажутся в одной полуплоскости (которая плоскость Лобачевского). Поэтому, как и в первом доказательстве правильно «выйти в комплексную область». А это почти общематематическая идея.
цитата для размышлений из книги «A=B» (M.Petkovsek, H.Wilf, D.Zeilberger)
// via Антон Авдеев
https://www.math.toronto.edu/askold/2008-ISA-RAN.pdf
А.Г.Хованский. Многогранники и алгебра
Теория многогранников Ньютона связывает геометрию многогранников с алгебраической геометрией. Я начал работать в этой области с момента ее возникновения в середине 1970-х годов (…). Ниже я рассказываю о некоторых результатах этой теории и об истории их возникновения. При этом я ограничиваюсь лишь событиями, в которых принимал непосредственное участие.
// спасибо П.Пушкарю за ссылку
https://youtu.be/mRSVpU-MDIw
https://youtu.be/9nFyKE-45ns
…и продолжение следует
в качестве картинок по выходным — гирихи (восточные орнаменты) и их геометрия
по пути тж обсуждаются рациональные приближения к квадратным корням и проч.
https://youtu.be/R30PbgrZ4d8
Владимир Михайлович Тихомиров рассказывает о Колмогорове (при участии А.Л.Семенова)
http://www.school.ioffe.ru/seminars/osum23.html/
с 1 по 7 мая в СПб проходит XII выездной семинар учителей математики
по ссылке есть программа, прийти на пленарные заседания (1, 2, 7 мая) послушать Андреева, Волчкевича, Вольфсона, Кожевникова, Пратусевича, Сгибнева и других могут все желающие — просят только до 27 апреля заполнить форму на сайте
https://biblio.mccme.ru/node/195742
Человек, который играл в математику. Сборник памяти Джона Конвея
«Сюрреальные числа, Философский футбол, Теорема о свободе воли, Машина по производству простых чисел, состоящая из четырнадцати дробей — это может быть математикой? Да, и об этом знают те, кто успел познакомиться с миром волшебной математики Джона Конвея! Ещё в этом мире есть Пристрастные игры, Правило судного дня, Лунный свет (или Гипотеза чудовищного вздора), который неожиданным образом связывает Монстра — наибольшую спорадическую простую группу — с модулярными функциями, и много других странных обитателей. Переплетение игр, чисел, головоломок и реальности создаёт ощущение прикосновения к магии.»
к закрытию Московской мат. олимпиады как всегда выходят разные книги по математике. одна из них — «Проективная геометрия для школьников» И.Д.Жижилкина (ниже предисловие с небольшими сокращениями)
«««
Содержание школьного курса геометрии не слишком сильно изменилось по сравнению с «Началами» Евклида. Первые главы учебника начинаются с измерения отрезков и углов, потом идёт равенство треугольников, потом возникают различные формулы, связывающие между собой эти длины и углы.
(...)
Что останется от элементарной геометрии, если убрать из неё измерения? (...) На первый взгляд (...) [это] невозможно. По крайней мере, в «Началах» нет теорем, не использующих никаких измерений, хотя бы косвенно. Однако на самом деле такие теоремы существуют, хотя сформулировать их совсем не просто. Интересно, как возникла потребность в таких неочевидных утверждениях и зачем нужна геометрия, которая не измеряет ни длин, ни углов (именно эту геометрию и называют проективной).
Можно сказать, что классическая геометрия возникла для решения сугубо экономической задачи: разделить землю на участки. А проективная геометрия появилась как инструмент для решения творческой задачи. В эпоху Возрождения у художников появилась потребность изображать на холсте окружающий мир так, как мы его видим, как говорят — в перспективе.
(...)
В самом деле, на перспективном изображении теряется равенство отрезков и углов, отношения отрезков тоже становятся другими. Даже параллельные прямые начинают сходиться к горизонту, появляется, как говорят художники, «точка схода». Её нет в окружающем нас мире: ведь рельсы не пересекаются. Но на картине они прекрасно пересекаются на линии горизонта. Кстати, а что это за линия? Её ведь тоже нет, она иллюзорна. Как же изображать на картине отсутствующие в природе вещи, добиваясь максимального правдоподобия? И вообще, как устроено правильное перспективное изображение?
(...) теория оказалась гораздо богаче, чем предполагалось. И как евклидова геометрия ушла далеко от своего истока, землемерия, так и проективная геометрия стала полноценным разделом математики, гораздо более глубоким, чем теория перспективы.
Период бурного развития проективной геометрии — XIX век. К началу XX века она уже была стройной законченной теорией.
(...)
Все важнейшие связи были найдены, все конструкции построены и обоснованы, и тогда проективная геометрия потихоньку перешла в область фундаментальной общеизвестной классики.
Сегодня классическая проективная геометрия находится на «ничьей земле». Замечательно красивые геометрические теоремы с изящными неожиданными чертежами слишком сложны для средней школы, а в университетском курсе на них, как правило, не хватает времени.
Эта книга написана прежде всего для того, чтобы хоть немного закрыть этот пробел и познакомить читателя с важными конструкциями и знаменитыми теоремами проективной геометрии. Для её понимания не требуется никаких специальных знаний сверх обычной школьной геометрии в объёме девяти классов. Книга рассчитана на любознательного старшеклассника или первокурсника, интересующегося геометрией. Опыт автора говорит, что такие ученики ещё встречаются. Некоторые главы написаны по материалам лекций Летней математической школы лицея Л2Ш.
»»»
https://dev.mccme.ru/~merzon/pscache/xtra-snakes.pdf
в продолжение темы комбинаторики, связанной со значениями дзета-функции и в целых отрицательных, и в целых положительных точках
https://mccme.ru/dubna/2023/
напомним, что Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда в этом году проходит с 18 по 29 июля
подробности о курсах начинают постепенно появляться на сайте
а у желающих принять участие в работе школы старшеклассников и младшекурсников есть еще несколько дней (до субботы 20 мая), чтобы подать заявку
https://youtu.be/Fg0qy9L12_g
в качестве картинок по выходным — вот такая оптическая иллюзия (via GetAClass@vk)
https://euromathsoc.org/magazine/articles/144
It is rare indeed to be able to celebrate the centenary of a living legend. (…) the spring of 2023 brings up the centenary of Eugenio Calabi. (…) We wish to celebrate the occasion by collecting personal reminiscences of encounters with Eugenio Calabi.
Что такое когомологии? Можно сказать, это препятствия к
глобальной разрешимости
локально разрешимых
задач.
Что такое "невозможная фигура"? Это картинка, которые локально выглядит как рисунок реального объекта, но глобально таковой не является.
Подробности — в трёхстраничной заметке Р. Пенроуза (1992). Узнал о ней из https://mathoverflow.net/a/271353
https://okna.hse.ru/news/813282971.html
свои истории рассказывают С.К.Ландо и Е.Ю.Смирнов
Оказывается у задачи, предложенной выше, есть очень красивое решение с использованием понятия эквидистанты на плоскости Лобачевского (но все же попробуйте придумать обычное решение). Когда я узнал эту задачу, я тут же выдал ее на московских сборах, но решение с плоскостью Лобачевского рассказать толком так и не смог — запутался, не хватило базовых знаний и опыта 😁. Но в тот момент я подумал, какая же это классная тема — использование всяких штук из плоскости Лобачевского при решении обычных геометрических задач. Подумалось, что таких задач должно со временем становиться все больше и больше. А в 2020-ом году в Мат. Просвещении вышла абсолютно замечательная статья П.В. Бибикова и И.И. Фролова "Неевклидовы решения евклидовых задач."
А теперь самое главное! Через неделю, 6-го мая, в субботу в 18-00 (по московскому времени) у нас на канале состоится онлайн лекция Павла Витальевича Бибикова, в которой будет рассказано о неожиданной связи между евклидовой и неевклидовой геометриями. Оказывается, некоторые простые конструкции из геометрии Лобачевского позволяют быстро решать весьма трудные задачи из геометрии Евклида. Планируется рассказать о нескольких таких задачах, а также попутно немного рассказать о самой геометрии Лобачевского и различных ее моделях. Также будут разобраны несколько классических конструкций: теорема о бабочке, теорема Паскаля, теорема Дезарга об инволюции и теорема Фейербаха.
Для понимания материала будет достаточно знания классических фактов евклидовой геометрии (гомотетия, инверсия) и желательно, но не обязательно представление о базовых вещах из геометрии проективной (проективные преобразования, двойные отношения).
Доклад скорее всего будет проходить в зуме и, возможно, транслироваться на youtube. Если все пройдет без технических накладок, то запись появится на канале.
Если вы собираетесь присоединиться, то обязательно поставьте 🔥, чтобы я знал ориентировочное количество потенциальных участников.
из предисловия Кнута к книге «A=B»:
Science is what we understand well enough to explain to a computer. Art is everything else we do. During the past several years an important part of mathematics has been transformed from an Art to a Science: No longer do we need to get a brilliant insight in order to evaluate sums of binomial coefficients, and many similar formulas that arise frequently in practice; we can now follow a mechanical procedure and discover the answers quite systematically.
(…)
Science advances whenever an Art becomes a Science. And the state of the Art advances too, because people always leap into new territory once they have understood more about the old. This book will help you reach new frontiers.
https://ptlab.mccme.ru/Street_problems
«Хорошие, настоящие математические задачи прячутся вокруг нас. Входя в метро и увидев заранее заготовленные столбики монет на столе у кассира, пассажир ничего особенного не подумает, а математик вдруг спросит себя: «А каковы шансы, что в двух таких столбиках поровну орлов?» Покупая дочке киндер-сюрприз с принцессой внутри, мама просто покупает очередную игрушку внутри малосъедобного шоколадного яйца. Но маму-математика обязательно заинтересует, сколько же придется купить «киндеров», чтобы собрать всю коллекцию принцесс? (…)
Мы хотим сделать серию статей, посвященных таким «задачам с улицы» [по теории вероятностей]. Отбор задач будет строгим. Во-первых, они должны быть действительно с улицы: очень знакомы и очень понятны. Они не должны быть слишком просты (иначе они попали бы не сюда, а в учебник 5-го класса), но и не должны требовать чересчур сложного математического аппарата. (…)
Цель — дать учителю профессиональное развлечение на досуге, одновременно снабжая его темами для учебно-исследовательских проектов, которыми можно занять особо надоедливых и любопытных старшеклассников.»
bones/110249960030484103" rel="nofollow">https://mathstodon.xyz/@bones/110249960030484103
«A thread on the geometry behind the irrationality of zeta(3)»
Апери доказал иррациональность суммы обратных кубов, построив довольно загадочные последовательности A_n и B_n («When asked by people how he found these sequences, Apery told them he found them in his ’back garden’.»), отношение которых достаточно быстро сходится к zeta(3)
по ссылке рассказывается, как всё это связано с геометрией K3-поверхностей
https://youtu.be/7j4YVIFmAXw
«Working from the notions of associative algebras, Lie algebras, and Poisson algebras we build the idea of a vertex algebra. We end with the proper definition as well as an "intuition" for how to think of the parts.»
и далее плейлист https://www.youtube.com/playlist?list=PL22w63XsKjqyx2FFUywi_mz91Jtih52yX (Michael Penn)
Кстати, если кто-то хочет по-быстрому получить представление о мотивной теории гомотопий — делюсь недавним докладом Панина, о стабильной "комплексно-аналитической" мотивной гомотопической категории
https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?presentid=38629
(разница между ней и мотивными гомотопиями Мореля—Воеводского — примерно как разница между комплексной геометрией и алгебраической геометрией).
Не уверен, что доклад доступный: хотя все определения даны, для понимания желательно знать, что такое спектры (в теории гомотопий), пучки и симплициальные множества. То есть путь к построению нужной категории всё ещё запутанный.
Но один важный крюк удаётся срезать. А именно: комплексная топология существенно тоньше, чем топология Зарисского. Значит, не нужно упоминать ни в каком виде топологии Гротендика и топологию Нисневича
Сегодня исполняется 120 лет со дня рождения великого математика Андрея Николаевича Колмогорова.
Недавно вышло в свет второе дополненное издание брошюры «Андрей Николаевич Колмогоров. Полная библиография его трудов и список публикаций, ему посвящённых» https://biblio.mccme.ru/node/185121. Здесь же напомним читателю лишь о нескольких книгах, связанных с его жизнью и творчеством.
Колмогоров А. Н. Математика — наука и профессия.
— М.: Наука, 1988. — (Библиотечка «Квант»; Вып. 64).
https://www.mathedu.ru/text/kolmogorov_matematika-nauka_i_professiya_1988/p0/
https://math.ru/lib/bmkvant/64
Сборник избранных статей АНК о профессии математика, о фундаментальных понятиях школьной математики, о связи математики с другими науками и техникой. Статьи обращены прежде всего к школьникам и учителям математики и сгруппированы в четыре раздела: размышления математика; фундаментальные понятия школьной математики; популярные лекции для школьников; лекции для учителей.
Колмогоров: юбилейное издание в трёх книгах.
— М.: Физматлит, 2003.
Трёхтомник в красной обложке с подписью АНК. Первая книга больше интересна для математиков – статьёй Альберта Николаевича Ширяева о жизни и творчестве АНК; вторая книга — избранные места из переписки АНК с его близким другом академиком Павлом Сергеевичем Александровым; третья книга — выдержки из дневника АНК, который он вёл с августа 1943 по март 1945 года.
Из эпистолярного наследия А. Н. Колмогорова. Письма к В. М. Тихомирову.
— М.: МЦНМО, 2023. https://biblio.mccme.ru/node/185120
Некоторые из писем АНК за 1957—1960 годы, адресованных его близкому ученику Владимиру Михайловичу Тихомирову. И письма, и дневники из красного трёхтомника раскрывают личность АНК.
Колмогоров в воспоминаниях.
— М.: МЦНМО, 2023. https://biblio.mccme.ru/node/176846
Расширенное издание книги «Колмогоров в воспоминаниях учеников» (2006), содержит статьи из сборника «Колмогоров в воспоминаниях» (1993, книга в чёрной обложке) и некоторые новые материалы. В конце сборника приведён полный список учеников АНК.
Академик А. Н. Колмогоров: Публицистика.
— М.: Луч, 2018.
Разнородная книга, но содержит интересные материалы, включая газетные публикации, собранные А. М. Абрамовым.
Пока не вышла, но готовится А. Н. Ширяевым к изданию книга с новыми архивными материалами:
Критическое слово. Отзывы, письма, предисловия, отчёты, планы, разное.
— М.: МЦНМО, 2023.
Приведём несколько названий, которые могут удивить читателя, не слишком хорошо знакомого с жизнью великого математика.
Колмогоров А.Н. Труды по стиховедению.
— М.: МЦНМО, 2015. https://biblio.mccme.ru/node/5464
Колмогоров А. Н. Об истории, филологии, кибернетике
— М.: МЦНМО, 2023. https://biblio.mccme.ru/node/191695
Колмогоров А. Н. Новгородское землевладение XV века.
— М.: Наука, 1993.
Напомним и о нескольких фильмах, где можно увидеть Андрея Николаевича Колмогорова.
Спрашивайте, мальчики.
https://youtu.be/IKueZjkg2Gs
Недавно появившаяся качественная оцифровка документального фильма 1970 года о ФМШ 18, знаменитом Интернате.
Рассказы о Колмогорове.
https://youtu.be/GlQljMjn68E
Фильм 1984 года, включающий видео-воспоминания его великих учеников, текст одного из последних интервью АНК и некоторые кадры со съёмок.
Совсем короткий эпизод с урока в ФМШ 18.
https://youtu.be/U6hWUIn-ycQ